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1、试题题目：设f（x）=x2，g（x）=8x，数列{an}（n∈N*）满足a1=2，（an+1-an）?g（an-1..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com） 发布时间：2016-03-08 07:30:00

试题原文

设f（x）=x2，g（x）=8x，数列{an}（n∈N*）满足a1=2，（an+1-an）?g（an-1）+f（an-1）=0，记bn=
7
8
(n+1)(an-1)．（Ⅰ）求证：数列{an-1}是等比数列；
（Ⅱ）当n为何值时，bn取最大值，并求此最大值；（Ⅲ）求数列{bn}的前n项和Sn．

  试题来源：不详   试题题型：解答题   试题难度：中档   适用学段：高中   考察重点：等比数列的定义及性质



2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：
（Ⅰ）由已知，得（an+1-an）?8（an-1）+（an-1）2=0．
即（an-1）（8an+1-7an-1）=0．                
∵a1=2≠1，∴a2≠1，同理a3≠1，…，an≠1．
∴8an+1=7an+1．                          
即8（an+1-1）=7（an-1），
∴数列{an-1}是以a1-1=1为首项，
7
8
为公比的等比数列．  
（Ⅱ）由（1），得an-1=(
7
8
)n-1．
∴bn=(n+1)?(
7
8
)n．                 
则bn+1=(n+2)?(
7
8
)n+1．
∵
bn+1
bn
=
n+2
n+1
?
7
8
，设
bn+1
bn
≥1，则n≤6．
因此，当n＜6时，bn＜bn+1；当n=6时，b6=b7，当n＞6时，bn＞bn+1．
∴当n=6或7时，bn取得最大值．                        
（Ⅲ）Sn=2?
7
8
+3?(
7
8
)2+4?(
7
8
)3+…+n?(
7
8
)n-1+(n+1)?(
7
8
)n
7
8
?Sn=2?(
7
8
)2+3?(
7
8
)3+4?(
7
8
)4+…+n?(
7
8
)n+(n+1)?(
7
8
)n+1
相减得：
1
8
?Sn=2?
7
8
+(
7
8
)2+(
7
8
)3+…+(
7
8
)n-(n+1)?(
7
8
)n+1=
7
8
+
7
8
×8×[1-(
7
8
)n]-(n+1)?(
7
8
)n+1
=
63
8
-(n+9)?(
7
8
)n+1
∴Sn=63-8(n+9)?(
7
8
)n+1．
3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

    经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设f（x）=x2，g（x）=8x，数列{an}（n∈N*）满足a1=2，（an+1-an）?g（an-1..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的定义及性质”。


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