发布人:繁体字网(www.fantiz5.com) 发布时间:2016-03-10 07:30:00
试题原文 |
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解:(1)当n=1时,a1=3; 当n≥2时,由a1+=n2+2n, ① 得=(n-1)2+2(n-1), ② ①-②得:=2n+1, 所以an=(2n+1)·λn-1,(n≥2), 因为a1=3,所以an=(2n+1)·λn-1(n∈N*)。 (2)当λ=4时,an=(2n+1)·4n-1, 若存在ar,as,at成等比数列, 则[(2r+1)4r-1] [(2t+1)·4t-1]=(2s+1)2·42s-2, 整理得(2r+1)(2t+1) 4r+t -2s=(2s+1)2, 由奇偶性知r+t -2s=0, 所以(2r+1)(2t+1)=(r+t+1)2, 即(r-t)2=0, 这与r≠t矛盾, 故不存在这样的正整数r,s,t,使得ar,as,at成等比数列。 (3)Sn=3+5λ+7λ2+…+(2n+1)λn-1, 当λ=1时,Sn=3+5+7+…+(2n+1)=n2+2n; 当λ≠1时,Sn=3+5λ+7λ2+…+(2n+1)λn-1, λSn=, , 要对任意n∈N*,都有(1-λ)Sn+λan≥2λn恒成立, ①当λ=1时,左=(1-λ)Sn+λan=an=2n+1≥2,结论显然成立; ②当λ≠1时, 左=(1-λ)Sn+λan= , 因此,对任意n∈N*,都有恒成立, 当0<λ<1时,只要对任意n∈N*恒成立, 只要有, 因此,当0<λ<1时,结论成立; 当λ≥2时,显然不可能对任意n∈N*恒成立; 当1<λ<2时,只要对任意n∈N*恒成立, 只要有即可,解得1≤λ≤; 因此当1<λ≤时,结论成立; 综上可得,实数λ的取值范围为(0,]。 |
经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后,可以看出该题目“已知数列{an}满足:a1+=n2+2n(其中常数λ>0,n∈N*),(1)..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看:“高中等比数列的定义及性质”。