解：（1）四边形BCDE是菱形．理由如下：
∵△BCD沿对角线BD折叠后，
点C刚好落在AB边上的点E处，
∴△BCD与△BED重合，
∴DC=DE，BC=BE，∠CBD=∠EBD，
又∵AB∥CD，
∴∠CDB=∠EBD，
∴∠CBD=∠CDB，
∴DC=BC，
∴DC=DE=BC=BE，
∴四边形BCDE是菱形；
（2）过点D作DF⊥AB于F，
∵四边形ABCD是等腰梯形，AD=BC，AB∥CD，
∴∠A=∠ABC=60°，∠A+∠ADC=180°，
∴∠ADC=120°，
又∵四边形BCDE是菱形，
∴∠EDC=∠ABC=60°，DC=DE=BC=BE=2，
∴∠ADE=∠ADC﹣∠EDC=120°﹣60°=60°，
∴∠A=∠ADC=60°，
∴DE=AE=AD=2，即△ADE是等边三角形，
又∵DF⊥AB  AE=2，
∴AF=1，
在Rt△ADF中，DF=，
又∵DC=2，AB=4，
∴S_梯形ABCD=（DC+AB）×DF=（2+4）×=3．