如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），点P是x轴上一动点，以线段AP为一边，在其一侧作等边三角形APQ．当点P运动到原点O处时，记Q的位置为B．（1）求点B的坐标；（2）求证：当点-数学试题及答案

1、试题题目：如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），点P是x轴上一动点，以..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-06-18 07:30:00

试题原文

如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），点P是x轴上一动点，以线段AP为一边，在其一侧作等边三角形APQ．当点P运动到原点O处时，记Q的位置为B．
（1）求点B的坐标；
（2）求证：当点P在x轴上运动（P不与Q重合）时，∠ABQ为定值；
（3）是否存在点P，使得以A、O、Q、B为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

试题来源：河南省期末题试题题型：解答题试题难度：偏难适用学段：初中考察重点：等边三角形

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（1）过点B作BC⊥y轴于点C，
∵A（0，2），△AOB为等边三角形，
∴AB=OB=2，∠BAO=60°，
∴BC=

，OC=AC=1，
即B（

）；
（2）证明：当点P在x轴上运动（P不与O重合）时，不失一般性，
∵∠PAQ=∠OAB=60°，
∴∠PAO=∠QAB，
在△APO和△AQB中，
∵AP=AQ，∠PAO=∠QAB，AO=AB
∴△APO≌△AQB总成立，
∴∠ABQ=∠AOP=90°总成立，
∴当点P在x轴上运动（P不与O重合）时，∠ABQ为定值90°；
（3）解：由（2）可知，点Q总在过点B且与AB垂直的直线上，可见AO与BQ不平行．
①当点P在x轴负半轴上时，点Q在点B的下方，
此时，若AB∥OQ，四边形AOQB即是梯形，
当AB∥OQ时，∠BQO=90°，∠BOQ=∠ABO=60°．
又OB=OA=2，
可求得BQ=