已知α、β都是锐角，且sinβ=sinαcos（α+β）．（1）当α+β=π4，求tanβ的值；（2）当tanβ取最大值时，求tan（α+β）的值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知α、β都是锐角，且sinβ=sinαcos（α+β）．（1）当α+β=π4，求tanβ的值..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-09 07:30:00

试题原文

已知α、β都是锐角，且sinβ=sinαcos（α+β）．
（1）当α+β=

π

4

，求tanβ的值；
（2）当tanβ取最大值时，求tan（α+β）的值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：两角和与差的三角函数及三角恒等变换

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵α+β=

π

4

，且sinβ=sinαcos（α+β）．
∴sinβ=

2

sin（

π

4

-β），整理得

3

2

sinβ-

1

2

cosβ=0，
∵β为锐角，
∴tanβ=

sinβ

cosβ

=

1

3

．
（2）由题意，得sinβ=sinαcosαcosβ-sin²αsinβ，
两边都除以cosβ，得tanβ=sinαcosα-sin²αtanβ，
∴tanβ=

sinαcosα

1+sin2α

=

sinαcosα

2sin2α+cos2α

=

tanα

2tan2α+1

=

1

2tanα+

1

tanα

∵α是锐角，∴2tanα+

1

tanα

≥2

2tanα?

1

tanα

=2

2

因此，tanβ=

1

2tanα+

1

tanα

≤

1

2

=

2

4

．
当且仅当

1

tanα

=2tanα时，取“=”号，
∴tanα=

2

时，tanβ取得最大值

2

4

，
由此可得，tan（α+β）=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=

2

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知α、β都是锐角，且sinβ=sinαcos（α+β）．（1）当α+β=π4，求tanβ的值..”的主要目的是检查您对于考点“高中两角和与差的三角函数及三角恒等变换”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中两角和与差的三角函数及三角恒等变换”。

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