已知函数f（x）=lnx，g（x）=x2+bx+c（1）若函数h（x）=f（x）+g（x）是单调递增函数，求实数b的取值范围；（2）当b=0时，两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点P，设曲线f（x），g（x）在P处的切线分别-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=lnx，g（x）=x2+bx+c（1）若函数h（x）=f（x）+g（x）是单调递..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=lnx，g（x）=x²+bx+c
（1）若函数h（x）=f（x）+g（x）是单调递增函数，求实数b的取值范围；
（2）当b=0时，两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点P，设曲线f（x），g（x）在P处的切线分别为l₁，l₂，若切线l₁，l₂与x轴围成一个等腰三角形，求P点坐标和c的值；
（3）当b=-2e²时，讨论关于x的方程

f(x)

x

=g（x²）的根的个数．

试题来源：宁波模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）h(x)=lnx+x2+bx+c(x＞0)，h/(x)=

1

x

+2x+b，
依题，h/(x)=

1

x

+2x+b≥0在（0，+∞）上恒成立，
法1：b≥[-(

1

x

+2x)]max，又-(

1

x

+2x)≤-2

1

x

?2x

=-2

2

（当且仅当

1

x

=2x，即x=

2

时取等）
∴b≥-2

2

．
法2：h/(x)=

2x2+bx+1

x

，令t（x）=2x²+bx+1，则t（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
由二次函数t（x）图象得，
1°

-

b

4

≥0

△≤0

?-2

2

≤b≤0；
2°

-

b

4

＜0

t(0)=1＞0

?b＞0，
综合1°、2°得b≥-2

2

．
（2）b=0时，f（x）=lnx，g（x）=x²+c，
设P（x₀，y₀），l₁，l₂的倾斜角分别为α，β，
则tanα=

1

x0

，tanβ=2x0，由于x₀＞0，则α，β均为锐角，
因为切线l₁，l₂与x轴围成一个等腰三角形依题，有以下两种情况：
1°α=2β时，tanα=tan2β=

2tanβ

1-tan2β

?

1

x0

=

4x0

1-4x02

?x02=

1

8

?x0=

2

4

，
此时，P(

2

4

，ln

2

4

)，c=ln

2

4

-

1

8

；
2°β=2α时，tanβ=tan2α=

2tanα

1-tan2α

?2x0=

2

x0

1-

1

x02

=

2x0

x02-1

?x02=2?x0=

2

，
此时，P(

2

，ln

2

)，c=ln

2

-2．
（3）b=-2e²时，
令?(x)=

f(x)

x

-g(x2)=

lnx

x

-x4+2e2x2-c(x＞0)?/(x)=

1-lnx

x2

-4x(x2-e2)，
0＜x＜e时，?^/（x）＞0；x＞e时，?^/（x）＜0
∴?（x）在（0，e）上递增，在（e，+∞）上递减，
∴?max(x)=?(e)=e4+

1

e

-c，
又x→0时，?（x）→-∞；x→+∞时，?（x）→-∞
1°?（e）＞0即c＜e4+

1

e

时，函数?（x）有两个零点即方程

f(x)

x

=g(x2)有两个根；
2°?（e）=0即c=e4+

1

e

时，函数?（x）有一个零点即方程

f(x)

x

=g(x2)有一个根；
3°?（e）＜0即c＞e4+

1

e

时，函数?（x）没有零点即方程

f(x)

x

=g(x2)没有根．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=lnx，g（x）=x2+bx+c（1）若函数h（x）=f（x）+g（x）是单调递..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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