已知f(x)=xex（e是自然对数的底数），（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）设an=f（n），求数列{an}的前n项和Sn，并证明e(en-1)-n(e-1)(e-1)2en≤ne．-数学试题及答案

1、试题题目：已知f(x)=xex（e是自然对数的底数），（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）设a..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知　f(x)=

x

ex

（e是自然对数的底数），
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设a_n=f（n），求数列{a_n}的前n项和S_n，并证明

e(en-1)-n(e-1)

(e-1)2en

≤

n

e

．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）∵f(x)=

x

ex

，∴f′(x)=

ex-xex

(ex)2

=

1-x

ex

，
当x＜1时，f′（x）＞0，f（x）是单调递增，当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）是单调递减．
所以f（x）的递增区间是（-∞，1]，递减区间是[1，+∞）．　…5分
（Ⅱ）∵a_n=f（n），S_n=a₁+a₂+…+a_n，∴an=

n

en

且Sn=

1

e

+

2

e2

+

3

e3

…+

n

en

，
∴

1

e

Sn=

1

e2

+

2

e3

+

3

e4

+…+

n-1

en

+

n

en+1

∴(1-

1

e

)Sn=

1

e

+

1

e2

+

1

e3

+…+

1

en

-

n

en+1

=

1

e

(1-

1

en

)

1-

1

e

-

n

an+1

∴Sn=

e(en-1)-n(e-1)

en(e-1)2

．
由（Ⅰ）知f(x)max=f(1)=

1

e

，∴f(x)≤

1

e

，∴an=f(n)≤

1

e

，∴Sn≤

n

e

，
∴

e(en-1)-n(e-1)

en(e-1)2

≤

n

e

．…13分．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知f(x)=xex（e是自然对数的底数），（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）设a..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：