已知函数f(x)=axx2+b在x=1处取得极值2．（1）求函数f（x）的表达式；（2）当m满足什么条件时，函数f（x）在区间（m，2m+1）上单调递增？（3）若P（x0，y0）为f(x)=axx2+b图象上任意一点，直线-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=axx2+b在x=1处取得极值2．（1）求函数f（x）的表达式；（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=

ax

x2+b

在x=1处取得极值2．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）当m满足什么条件时，函数f（x）在区间（m，2m+1）上单调递增？
（3）若P（x₀，y₀）为f(x)=

ax

x2+b

图象上任意一点，直线l与f(x)=

ax

x2+b

的图象切于点P，求直线l的斜率k的取值范围．

试题来源：马鞍山二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）因f/(x)=

a(x2+b)-ax(2x)

(x2+b)2

，
而函数f(x)=

ax

x2+b

在x=1处取得极值2，
所以

f/(1)=0

f(1)=2

?

a(1+b)-2a=0

a

1+b

=2

?

a=4

b=1

所以f(x)=

4x

1+x2

；
（2）由（1）知f/(x)=

4(x2+1)-8x2

(x2+1)2

=

-4(x-1)(x+1)

(1+x2)2

，
如图，f（x）的单调增区间是[-1，1]，
所以，

m≥-1

2m+1≤1

m＜2m+1

?-1＜m≤0，
所以当m∈（-1，0]时，函数f（x）在区间（m，2m+1）上单调递增．

魔方格

（3）由条件知，过f（x）的图形上一点P的切线l的斜率k为：k=f/(x0)=

4(1-x02)

(1+x02)2

=4×

-1-x02+2

(1+x02)2

=4[

2

(1+x02)2

-

1

1+x02

]
令t=

1

1+x02

，则t∈（0，1]，此时，k=8(t2-

1

2

t)=8(t-

1

4

)2-

1

2

根据二次函数k=8(t-

1

4

)2-

1

2

的图象性质知：
当t=

1

4

时，k_min=-

1

2

，当t=1时，k_max=4
所以，直线l的斜率k的取值范围是[-

1

2

， 4 ]．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=axx2+b在x=1处取得极值2．（1）求函数f（x）的表达式；（..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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