已知函数f(x)=px-px-2lnx．（1）若p=2，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数f（x）在其定义域内为增函数，求正实数p的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=px-px-2lnx．（1）若p=2，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=px-

p

x

-2lnx．
（1）若p=2，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若函数f（x）在其定义域内为增函数，求正实数p的取值范围．

试题来源：云南模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）当p=2时，函数f(x)=2x-

2

x

-2lnx，
f（1）=2-2-2ln1=0.f′(x)=2+

2

x2

-

2

x

，
曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为f'（1）=2+2-2=2．
从而曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-0=2（x-1），即y=2x-2．

（2）f′(x)=p+

p

x2

-

2

x

=

px2-2x+p

x2

．
令h（x）=px²-2x+p，要使f（x）在定义域（0，+∞）内是增函数，
只需h（x）≥0在（0，+∞）内恒成立．
由题意p＞0，h（x）=px²-2x+p的图象为开口向上的抛物线，对称轴方程为x=

1

p

∈(0，+∞)，
∴h(x)min=p-

1

p

，只需p-

1

p

≥0，
即p≥1时，h（x）≥0，f'（x）≥0
∴f（x）在（0，+∞）内为增函数，正实数p的取值范围是[1，+∞）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=px-px-2lnx．（1）若p=2，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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