已知函数f（x）=12m（x-1）2-2x+3+lnx（m≥1）．（Ⅰ）当m=32时，求函数f（x）在区间[1，3]上的极小值；（Ⅱ）求证：函数f（x）存在单调递减区间[a，b]；（Ⅲ）是否存在实数m，使曲线C：y=f（x）在点P-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=12m（x-1）2-2x+3+lnx（m≥1）．（Ⅰ）当m=32时，求函数f（x）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=

1

2

m（x-1）²-2x+3+lnx（m≥1）．
（Ⅰ）当m=

3

2

时，求函数f（x）在区间[1，3]上的极小值；
（Ⅱ）求证：函数f（x）存在单调递减区间[a，b]；
（Ⅲ）是否存在实数m，使曲线C：y=f（x）在点P（1，1）处的切线l与曲线C有且只有一个公共点？若存在，求出实数m的值，若不存在，请说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）f′(x)=m(x-1)-2+

1

x

（x＞0）．
当m=

3

2

时，f′(x)=

3(x-2)(x-

1

3

)

2x

，令f′（x）=0，得x₁=2，x₂=

1

3

．
f（x），f′（x）的变化情况如下表：

x

（0，

1

3

）

1

3

（

1

3

，2）

2

（2，+∞）

f'（x）

+

0

-

0

+

f（x）

单调递增

极大值

单调递减

极小值

单调递增

所以，当x=2时，函数f（x）取到极小值，且极小值为f（2）=ln2-

1

4

．（4分）
（Ⅱ）令f′（x）=0，得mx²-（m+2）x+1=0．（*）
因为△=（m+2）²-4m=m²+4＞0，所以方程（*）存在两个不等实根，记为a，b（a＜b）．
因为m≥1，所以

a+b=

m+2

m

＞0

ab=

1

m

＞0.

所以a＞0，b＞0，即方程（*）有两个不等的正根，因此f′（x）＜0的解为（a，b）．
故函数f（x）存在单调递减区间．（8分）
（Ⅲ）因为f′（1）=-1，所以曲线C：y=f（x）在点P（1，1）处的切线l为y=-x+2．
若切线l与曲线C只有一个公共点，则方程

1

2

m（x-1）²-2x+3+lnx=-x+2有且只有一个实根．
显然x=1是该方程的一个根．
令g（x）=

1

2

m（x-1）²-x+1+lnx，则g′(x)=m(x-1)-1+

1

x

=

m(x-1)(x-

1

m

)

x

．
当m=1时，有g′（x）≥0恒成立，所以g（x）在（0，+∞）上单调递增，所以x=1是方程的唯一解，m=1符合题意．
当m＞1时，令g′（x）=0，得x₁=1，x₂=

1

m

，则x₂∈（0，1），易得g（x）在x₁处取到极小值，在x₂处取到极大值．
所以g（x₂）＞g（x₁）=0，又当x→0时，g（x）→-∞，所以函数g（x）在（0，

1

m

）内也有一个解，即当m＞1时，不合题意．
综上，存在实数m，当m=1时，曲线C：y=f（x）在点P（1，1）处的切线l与C有且只有一个公共点．（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=12m（x-1）2-2x+3+lnx（m≥1）．（Ⅰ）当m=32时，求函数f（x）..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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