函数f（x）=-ax31nx+3x3-4b在x=1处取得极值，其中a，b为常数．（1）求实数a的值；（2）若对?x＞0，不等式f（x）-4b2≤0恒成立，求实数b的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：函数f（x）=-ax31nx+3x3-4b在x=1处取得极值，其中a，b为常数．（1）求..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-08 07:30:00

试题原文

函数f（x）=-ax³1nx+3x³-4b在x=1处取得极值，其中a，b为常数．
（1）求实数a的值；
（2）若对?x＞0，不等式f（x）-4b²≤0恒成立，求实数b的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵f（x）=-ax³lnx+3x³-4b，
∴f′（x）=-a（3x²lnx+x²）+9x²，
∵f（x）=-ax³lnx+3x³-4b在x=1处取得极值，
∴f′（1）=-a+9=0，解得a=9．
（2）由a=9，知f′（x）=-27x²lnx，x＞0，
令f′（x）=0，解得x=1．
∵0＜x＜1时，f′（x）＞0；x＞1时，f（x）＜0，
∴f（x）的减区间为（1，+∞），f（x）的增区间为（0，1），
∴f（x）_max=f（1）=3-4b．
∵对?x＞0，不等式f（x）-4b²≤0恒成立，
∴3-4b-4b²≤0，
解得b≤-

3

2

，或b≥

1

2

．
∴b的取值范围是（-∞，-

3

2

]∪[

1

2

，+∞）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“函数f（x）=-ax31nx+3x3-4b在x=1处取得极值，其中a，b为常数．（1）求..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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