发布人：繁体字网（www.fantiz5.com） 发布时间：2015-12-08 07:30:00
| 试题原文 |
|
（1）由已知得x＞0且f′(x)=2x-(-1)k?
当k是奇数时，f′（x）＞0，则f（x）在（0，+∞）上是增函数； 当k是偶数时，则f′(x)=2x-
所以当x∈(0，
故当k是偶数时，f （x）在(0，
（2）若k=2012，则f（x）=x2-2alnx（k∈N*）． 记g （x）=f （x）-2ax=x 2-2a xlnx-2ax，g′(x)=2x-
若方程f（x）=2ax有唯一解，即g（x）=0有唯一解； 令g′（x）=0，得x2-ax-a=0．因为a＞0，x＞0， 所以x 1=
当x∈（0，x2）时，g′（x）＜0，g（x）在（0，x2）是单调递减函数； 当x∈（x2，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）在（x2，+∞）上是单调递增函数． 当x=x2时，g′（x2）=0，g（x）min=g（x2）． 因为g（x）=0有唯一解，所以g（x2）=0． 则
两式相减得alnx2+ax2-a=0，因为a＞0，所以2lnx2+x2-1=0（*）． 设函数h（x）=2lnx+x-1， 因为在x＞0时，h （x）是增函数，所以h （x）=0至多有一解． 因为h （1）=0，所以方程（*）的解为x 2=1，从而解得a=
（3）当k=2011时，问题等价于证明xlnx＞
由导数可求φ（x）=xlnx（x∈（0，+∞））的最小值是-
设m(x)=
易得m(x)max=m(1)=-
从而对一切x∈（0，+∞），都有lnx＞
|
经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x2-2acoskπ?lnx（k∈N*，a∈R且a＞0）．..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。