求一切实数p，使得三次方程5x3-5（p+1）x2+（71p-1）x+1=66p的三个根均为正整数．-数学试题及答案

1、试题题目：求一切实数p，使得三次方程5x3-5（p+1）x2+（71p-1）x+1=66p的三个根..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-16 07:30:00

试题原文

求一切实数p，使得三次方程5x³-5（p+1）x²+（71p-1）x+1=66p的三个根均为正整数．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的零点与方程根的联系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

x=1是方程的一个根．于是只要考虑二次方程5x²-5px+66p-1=0的两个根为正整数即可．
设此二正整数根为u、v．则由韦达定理知，

u+v=p①

uv=

1

5

(66p-1)②

消去p，得5uv-66（u+v）=-1．同乘以5：5²uv-5×66u-5×66v=-5．
∴（5u-66）（5v-66）=66²-5=4351=19×229．由于u、v均为整数，故5u-66、5v-66为整数．
∴

5u-66=1

5v-66=4351

或

5u-66=-1

5v-66=-4351

或

5u-66=19

5v-66=229

或

5u-66=-19

5v-66=-229

∴其中使u、v为正整数的，只有u=17，v=59这一组值．此时p=76．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“求一切实数p，使得三次方程5x3-5（p+1）x2+（71p-1）x+1=66p的三个根..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的零点与方程根的联系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的零点与方程根的联系”。

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