设f（x）是定义在区间（-∞，+∞）上以2为周期的函数，对k∈Z，用Ik表示区间（2k-1，2k+1]，已知当x∈I0时，f（x）=x2．（1）求f（x）在Ik上的解析表达式；（2）对自然数k，求集合Mk={a|使方程-数学试题及答案

1、试题题目：设f（x）是定义在区间（-∞，+∞）上以2为周期的函数，对k∈Z，用Ik表示..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-16 07:30:00

试题原文

设f（x）是定义在区间（-∞，+∞）上以2为周期的函数，对k∈Z，用I_k表示区间（2k-1，2k+1]，已知当x∈I₀时，f（x）=x²．
（1）求f（x）在I_k上的解析表达式；
（2）对自然数k，求集合M_k={a|使方程f（x）=ax在I_k上有两个不等的实根}

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的零点与方程根的联系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵f（x）是以2为周期的函数，
∴当k∈Z时，2k也是f（x）的周期．
又∵当x∈I_k时，（x-2k）∈I₀，
∴f（x）=f（x-2k）=（x-2k）²．
即对k∈Z，当x∈I_k时，f（x）=（x-2k）²．
（2）当k∈Z且x∈I_k时，
利用（1）的结论可得方程（x-2k）²=ax，整理得：x²-（4k+a）+4k²=0．
它的判别式是△=（4k+a）²-16k²=a（a+8k）．
上述方程在区间I_k上恰有两个不相等的实根的充要条件是a满足

a(a+8k)＞0

2k-1＜

1

2

[4k+a-

a(a+8k)

]

2k+1≥

1

2

[4k+a+

a(a+8k)

]

化简得

a(a+8k)＞0，(1)

a(a+8k)

＜2+a，(2)

a(a+8k)

≤2-a，(3)

由（1）知a＞0，或a＜-8k．
当a＞0时：因2+a＞2-a，故从（2），（3）
可得

a(a+8k)

≤2-a，即

a(a+8k)≤(2-a)2

2-a＞0

当a＜-8k时：2+a＜2-8k＜0，
易知

a(a+8k)

＜2+a无解，
综上所述，a应满足0＜a≤

1

2k+1

故所求集合Mk={a|0＜a≤

1

2k+1

}

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设f（x）是定义在区间（-∞，+∞）上以2为周期的函数，对k∈Z，用Ik表示..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的零点与方程根的联系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的零点与方程根的联系”。

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