解：（I）因为，
又因为当x=0时，f（0）=0，
所以方程f（x）﹣x=0有实数根0．
所以函数是的集合M中的元素．
（II）假设方程f（x）﹣x=0存在两个实数根α，β（α≠β），
则f（α）﹣α=0，f（β）﹣β=0
不妨设α＜β，
根据题意存在数c（α，β）使得等式f（β）﹣f（α）=（β﹣α）f'（c）成立．
因为f（α）=α，f（β）=β，且α≠β，
所以f'（c）=1，与已知0＜f'（x）＜1矛盾，
所以方程f（x）﹣x=0只有一个实数根；
（III）不妨设x₂＜x₃，
因为f'（x）＞0，所以f（x）为增函数，
所以f（x₂）＜f（x₃），
又因为f'（x）﹣1＜0，所以函数f（x）﹣x为减函数，
所以f（x₂）﹣x₂＞f（x₃）﹣x₃，
所以0＜f（x₃）﹣f（x₂）＜x₃﹣x₂，即|f（x₃）﹣f（x₂）|＜|x₃﹣x₂|，
所以|f（x₃）﹣f（x₂）|＜|x₃﹣x₂|=|x₃﹣x₁﹣（x₂﹣x₁）|≤|x₃﹣x₁|+|x₂﹣x₁|＜2