定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy，f（xy）=f（x）f（y）（x，y∈R），且当x≠0时，f（x）≠0．（1）求证：f（0）=0（2）证明：f（x）是偶函数．并求f（x）的表达式（3）若f（x）=alnx有两个不同-数学试题及答案

1、试题题目：定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy，f（xy）=f（x）f（y）（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-21 07:30:00

试题原文

定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy，f（xy）=f（x）f（y）（x，y∈R），且当x≠0时，f（x）≠0．
（1）求证：f（0）=0
（2）证明：f（x）是偶函数．并求f（x）的表达式
（3）若f（x）=alnx有两个不同实数解，求a的取值范围．

试题来源：广东省月考题试题题型：解答题试题难度：偏难适用学段：高中考察重点：分段函数与抽象函数

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（1）∵f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy，令x=y=0，
∴f（0）=2f（0） ∴f（0）=0；
（2）令x=y=1代入f（xy）=f（x）f（y）
∴f（1）=f（1）2，
∵当x≠0时，f（x）≠0，
∴f（1）=1，
令y=x代入f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy，f（xy）=f（x）f（y）（x，y∈R），
f（2x）=2f（x）+2x²，f（2x）=f（2）f（x），
∴f（2）f（x）=2f（x）+2x²， ∵f（2）=2f（1）+2=4，
∴f（x）=x²，f（﹣x）=f（x）
∴f（x）为偶函数；
（3）∵f（x）=alnx有两个不同实数解，
∴令h（x）=f（x）﹣alnx=x²﹣xlnx，
∴h'（x）=2x﹣

，令h'（x）=0，解得x=±

，
当﹣

＜x＜

时，h'（x）＜0，f（x）单调减函数；
当x≥

或x≤﹣

时，h'（x）＞0，f（x）单调增函数；
如下图：要求h（x）与x轴有两个交点，可得h（﹣

）=0，
∴a=

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“定义在R上的函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy，f（xy）=f（x）f（y）（..”的主要目的是检查您对于考点“高中分段函数与抽象函数”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中分段函数与抽象函数”。

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