已知{an}是正数组成的数列，其前n项和2Sn=an2+an（n∈N*），数列{bn}满足b1=32，bn+1=bn+3an(n∈N*)．（I）求数列{an}，{bn}的通项公式；（II）若cn=anbn（n∈N*），数列{cn}的前n项和Tn-数学试题及答案

1、试题题目：已知{an}是正数组成的数列，其前n项和2Sn=an2+an（n∈N*），数列{bn..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-31 07:30:00

试题原文

已知{a_n}是正数组成的数列，其前n项和2S_n=a_n²+a_n（n∈N^*），数列{b_n}满足b1=

3

2

，bn+1=bn+3an(n∈N*)．
（I）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（II）若c_n=a_nb_n（n∈N^*），数列{c_n}的前n项和Tn，求

lim

n→∞

Tn

cn

．

试题来源：黄州区模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列的极限

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）a1 =S1=

1

2

(a12+a1)，∴a₁=1，
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

1

2

(an2+an)-

1

2

(an-12+an-1)，
∴a_n²-a_n-1²-a_n-a_n-1=0，
（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
∴a_n-a_n-1=1．
∴数列{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列，
∴a_n=n．
于是b_n+1=b_n+3ⁿ，∴b_n+1-b_n=3ⁿ，b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1）
=

3

2

+3+32+…+3n-1=

3

2

+

3-3n

1-3

=

3n

2

．
（II）cn=

1

2

n?3n，
∴Tn=

1

2

(1×3+2×32+…n×3n)，3Tn=

1

2

(1×32+2×33+…+n×3n+1)，
∴2Tn=

1

2

(n?3n+1-3-32-…-3n)=

1

2

(n?3n+1-

3-3n+1

1-3

)=

(2n-1)?3n=1+3

4

，
Tn =

(2n-1)?3n+1+3

8

，
∴

lim

n→∞

Tn

cn

=

lim

n→∞

(2n-1)?3n+1+3

8

n?3n

2

=

lim

n→∞

(2n-1)?3n+1+3

4n?3n

=

lim

n→∞

(

3

2

-

3

4n

+

3

4n

?

1

3n

)=

3

2

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知{an}是正数组成的数列，其前n项和2Sn=an2+an（n∈N*），数列{bn..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列的极限”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列的极限”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：