已知函数f（x）满足f(x+y)=f(x)?f(y)，且f(1)=12．（1）当x∈N+时，求f（n）的表达式；（2）设an=nf(n)(n∈N+)，求证：a1+a2+…+an＜2；（3）设bn=nf(n+1)f(n)&(n∈N+)，Sn=b1+b2+…+bn，-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）满足f(x+y)=f(x)?f(y)，且f(1)=12．（1）当x∈N+时，求f..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-31 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）满足f(x+y)=f(x)?f(y)，且f(1)=

1

2

．
（1）当x∈N₊时，求f（n）的表达式；
（2）设an=nf(n)

(n∈N+)

，求证：a₁+a₂+…+a_n＜2；
（3）设bn=

nf(n+1)

f(n)

&(n∈N+)，Sn=b1

+b2+…+bn，求

lim

n→∞

(

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

)．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列的极限

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）令x=n，y=1，得到
f（n+1）=f（n）?f（1）=

1

2

f(n)
∵f（n+1）=

1

2

f（n），f(1)=

1

2

，
∴{f（n）}是首项为

1

2

，公比为

1

2

的等比数列，
由等比数列前n项和公式，知
∴f（n）=

1

2 n

．
（2）∵f（n）=

1

2 n

，∴an=nf(n)=n×

1

2 n

=

n

2n

．
设S_n=a₁+a₂+…+a_n，
则S_n=

1

2

+

2

22

+…+

n-1

2 n-1

+

n

2n

，
两边同乘

1

2

，
得

1

2

Sn=

1

22

+

2

2 3

+…+

n-1

2 n

+

n

2 n+1

，
错位相减，得

1

2

Sn=

1

2

+

1

2 2

+

1

23

+…+

1

2 n

-

n

2 n+1

=

1

2

(1-

1

2 n

)

1-

1

2

-

n

2 n+1

=1-

1

2 n

-

n

2 n+1

，
∴Sn=2-

1

2 n-1

-

n

2 n+1

＜2．
所以a₁+a₂+…+a_n＜2．
（3）∵bn=

nf(n+1)

f(n)

=

n×

1

2 n+1

1

2 n

=

n

2

∴S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n
=

1

2

+

2

+

3

2

+…+

n

2

=

n(n+1)

4

．
∴

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

=4[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]
=4（1-

1

n+1

），
∴

lim

n→∞

(

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

)=

lim

n→∞

4(1-

1

n+1

)=4．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）满足f(x+y)=f(x)?f(y)，且f(1)=12．（1）当x∈N+时，求f..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列的极限”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列的极限”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：