已知椭圆E的焦点在x轴上，离心率为12，对称轴为坐标轴，且经过点(1，32)．（I）求椭圆E的方程；（II）直线y=kx-2与椭圆E相交于A、B两点，O为原点，在OA、OB上分别存在异于O点的点-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆E的焦点在x轴上，离心率为12，对称轴为坐标轴，且经过点..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-07 07:30:00

试题原文

已知椭圆E的焦点在x轴上，离心率为

1

2

，对称轴为坐标轴，且经过点(1，

3

2

)．
（I）求椭圆E的方程；
（II）直线y=kx-2与椭圆E相交于A、B两点，O为原点，在OA、OB上分别存在异于O点的点M、N，使得O在以MN为直径的圆外，求直线斜率k的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）依题意，可设椭圆E的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．
由

c

a

=

1

2

?a=2c，b2=a2-c2=3c2，
∵椭圆经过点(1，

3

2

)，则

1

4c2

+

9

12c2

=1，解得c²=1，
∴椭圆的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（II）联立方程组

y=kx-2

x2

4

+

y2

3

=1

，消去y整理得（4k²+3）x²-16kx+4=0，
∵直线与椭圆有两个交点，
∴△=（-16k）²-16（4k²+3）＞0，解得k2＞

1

4

，①
∵原点O在以MN为直径的圆外，
∴∠MON为锐角，即

OM

?

ON

＞0．
而M、N分别在OA、OB上且异于O点，即

OA

?

OB

＞0，
设A，B两点坐标分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则

OA

?

OB

=(x1，y1)?(x2，y2)=x1x2+y1y2
=（k²+1）x₁x₂-2k（x₁+x₂）+4═(k2+1)

4

4k2+3

-2k

16k

4k2+3

+4＞0
解得k2＜

4

3

，②
综合①②可知：k∈(-

2

3

，-

1

2

)∪(

1

2

，

2

3

)．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆E的焦点在x轴上，离心率为12，对称轴为坐标轴，且经过点..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的标准方程及图象”。

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