已知动点P在以F1（0，22）、F2（0，-22）为焦点的椭圆上C，且cos∠F1PF2的最小值为0，直线l与y轴交于点Q（0，m），与椭圆C交于相异两点A，B，且AQ=3QB（1）求椭圆C的方程；（2）实数m的-数学试题及答案

1、试题题目：已知动点P在以F1（0，22）、F2（0，-22）为焦点的椭圆上C，且cos∠F1P..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-07 07:30:00

试题原文

已知动点P在以F₁（0，

2

）、F₂（0，-

2

）为焦点的椭圆上C，且cos∠F₁PF₂的最小值为0，直线l与y轴交于点Q（0，m），与椭圆C交于相异两点A，B，且

AQ

=3

QB

（1）求椭圆C的方程；
（2）实数m的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解（1）由题意c2=

1

2

．设|PF₁|+|PF₂|=2a（a＞

2

），由余弦定理，
得cos∠F1PF2=

|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2

2|PF1|?|PF2|

=

(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1||PF2|-|F1F2|2

2|PF1|?|PF2|

=

4a2-4c2-2|PF1||PF2|

2|PF1|?|PF2|

=

2a2-1

|PF1|?|PF2|

-1．
又|PF₁|?|PF₂|≤(

|PF1|+|PF2|

2

)2=a2，
当且仅当|PF₁|=|PF₂|时，|PF₁|?|PF₂|取最大值，
此时cos∠F₁PF₂取最小值

2a2-1

a2

-1，
令

2a2-1

a2

-1=0，
解得a²=1，∵c=

2

，∴b2=

1

2

，
故所求P的轨迹方程为

y2

1

+

x2

1

2

=1．即y²+2x²=1；
（2）设直线l的方程为y=kx+m（k≠0），l与椭圆C的交点坐标为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

y=kx+m

2x2+y2=1

，得（k²+2）x²+2kmx+（m²-1）=0．
则△=（2km）²-4（k²+2）（m²-1）=4（k²-2m²+2）＞0．
x1+x2=

-2km

k2+2

，x1x2=

m2-1

k2+2

，
因为

AQ

=3

QB

，所以-x₁=3x₂，所以

x1+x2=-2x2

x1x2=-3x22

，
所以3(x1+x2)2+4x1x2=0，即k²（4m²-1）+（2m²-2）=0
当m2=

1

4

时，上式不成立；
当m2≠

1

4

时，k2=

2-2m2

4m2-1

＞0；
把k2=

2-2m2

4m2-1

代入△=4（k²-2m²+2）＞0，
得：4(

2-2m2

4m2-1

-2m2+2)＞0．
解得m的取值范围为(-1，-

1

2

)∪(

1

2

，1)．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知动点P在以F1（0，22）、F2（0，-22）为焦点的椭圆上C，且cos∠F1P..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的标准方程及图象”。

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