已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且经过点M（4，1），直线l：y=x+m交椭圆于不同的两点A，B．（1）求椭圆的方程；（2）求m的取值范围；（3）若直线l不过点M，求证：直线MA-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且经过点M（4，1）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-07 07:30:00

试题原文

已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为

，且经过点M（4，1），直线l：y=x+m交椭圆于不同的两点A，B．
（1）求椭圆的方程；
（2）求m的取值范围；
（3）若直线l不过点M，求证：直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形．

试题来源：江苏省期末题试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（1）设椭圆的方程为

，
∵椭圆的离心率为

，
∴a²=4b²，
又∵M（4，1），
∴

，
解得b²=5，a²=20，
故椭圆方程为

（2）将y=x+m代入

并整理得5x²+8mx+4m²﹣20=0，
∵直线l：y=x+m交椭圆于不同的两点A，B
∴△=（8m）²﹣20（4m²﹣20）＞0，
解得﹣5＜m＜5
（3）设直线MA，MB的斜率分别为k₁和k₂，只要证明k₁+k₂=0．
设A（

，

），B（x₂，y₂），
根据（2）中的方程，利用根与系数的关系得：

．

上式的分子=（

+m﹣1）（x₂﹣4）+（x₂+m﹣1）（

﹣4）
=2

x₂+（m﹣5）（

+x₂）﹣8（m﹣1）
=

所以k₁+k₂=0，得直线MA，MB的倾斜角互补
∴直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且经过点M（4，1）..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的标准方程及图象”。

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