附加题（必做题）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4．（1）设AD=λAB，异面直线AC1与CD所成角的余弦值为925，求λ的值；（2）若点D是AB的中点，求二面角D-CB1-B-数学试题及答案

1、试题题目：附加题（必做题）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-16 07:30:00

试题原文

附加题（必做题）
如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4．
（1）设

AD

=λ

AB

，异面直线AC₁与CD所成角的余弦值为

9

25

，求λ的值；
（2）若点D是AB的中点，求二面角D-CB₁-B的余弦值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）以CA，CB，CC₁分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标，
因为AC=3，BC=4，AA₁=4，所以A（3，0，0），B（0，4，0），C（0，0，0），C₁=（0，0，4），
所以

AC1

=(-3，0，4)，因为

AD

=λ

AB

，
所以点D（-3λ+3，4λ，0），所以

CD

=(-3λ+3，4λ，0)，
因为异面直线AC₁与CD所成角的余弦值为

9

25

，
所以　|cos＜

AC1

，

CD

＞|=

|9λ-9|

5

(3-3λ)2+16λ2

=

9

25

，解得λ=

1

2

．…（4分）
（2）由（1）得B₁（0，4，4），因为 D是AB的中点，所以D(

3

2

，2，0)，
所以

CD

=(

3

2

，2，0)，

CB1

=(0，4，4)，平面CBB₁C₁的法向量

n1

=（1，0，0），
设平面DB₁C的一个法向量

n2

=（x₀，y₀，z₀），
则

n1

，

n2

的夹角（或其补角）的大小就是二面角D-CB₁-B的大小，
由

n2

?

CD

=0

n2

?

CB 1

=0

得

3

2

x0+2y0=0

4y0+4z0=0

令x₀=4，则y₀=-3，z₀=3，
所以

n2

=（4，-3，3），
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

n1

?

n2

|

n1

|?|

n2

|

=

4

34

=

2

34

17

．
所以二面角D-B₁C-B的余弦值为

2

34

17

． …（10分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“附加题（必做题）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5..”的主要目的是检查您对于考点“高中用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：