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1、试题题目：已知|a|=1，|b|=2，a，b的夹角为π3，试求：（1）a+b与a-b夹角的余弦..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com） 发布时间：2016-02-17 07:30:00

试题原文

已知|
a
|=1，|
b
|=2，
a
，
b
的夹角为
π
3
，试求：
（1）
a
+
b
与
a
-
b
夹角的余弦值．
（2）使向量
a
+λ
b
与λ
a
-
b
的夹角为钝角时，λ的取值范围．

  试题来源：不详   试题题型：解答题   试题难度：中档   适用学段：高中   考察重点：用数量积表示两个向量的夹角



2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：
∵|
a
|=1，|
b
|=2，
a
、
b
的夹角为
π
3
，
∴
a
?
b
=|
a
|×|
b
|cos
π
3
=1
（1）∵（
a
+
b
）2=
a
2+2
a
?
b
+
b
2=1+2×1+4=7，（
a
-
b
）2=
a
2-2
a
?
b
+
b
2=1-2×1+4=3，
∴|
a
+
b
|=
7
，|
a
-
b
|=
3

设
a
+
b
与
a
-
b
的夹角为α，则
cosα=
(
a
+
b
)(
a
-
b
)
|
a
+
b
|?|
a
-
b
|
=
1-4
7
×
3
=-
21
7
，
即
a
+
b
与
a
-
b
夹角的余弦值等于-
21
7

（2）根据题意，不存在λ值，使向量
a
+λ
b
与λ
a
-
b
的夹角为π，
∴向量
a
+λ
b
与λ
a
-
b
的夹角为钝角时，可得
（
a
+λ
b
）（λ
a
-
b
）＜0，即λ
a
2+（λ2-1）
a
?
b
-λ
b
2＜0
将|
a
|=1，|
b
|=2和
a
?
b
=1代入，可得
λ+（λ2-1）-4λ＜0，整理得λ2-3λ-1＜0
解这个不等式，得
3-
13
2
＜λ＜
3+
13
2

因此λ的取值范围是（
3-
13
2
，
3+
13
2
）．
3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

    经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知|a|=1，|b|=2，a，b的夹角为π3，试求：（1）a+b与a-b夹角的余弦..”的主要目的是检查您对于考点“高中用数量积表示两个向量的夹角”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中用数量积表示两个向量的夹角”。


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