已知直线l：x=2+ty=1-at（t为参数），与椭圆x2+4y2=16交于A、B两点．（1）若A，B的中点为P（2，1），求|AB|；（2）若P（2，1）是弦AB的一个三等分点，求直线l的直角坐标方程．-数学试题及答案

1、试题题目：已知直线l：x=2+ty=1-at（t为参数），与椭圆x2+4y2=16交于A、B两点．..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-22 07:30:00

试题原文

已知直线l：

x=2+t

y=1-at

（t为参数），与椭圆x²+4y²=16交于A、B两点．
（1）若A，B的中点为P（2，1），求|AB|；
（2）若P（2，1）是弦AB的一个三等分点，求直线l的直角坐标方程．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：直线的参数方程

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）直线l：

x=2+t

y=1-at

代入椭圆方程，
整理得（4a²+1）t²-4（2a-1）t-8=0
设A、B对应的参数分别为t₁、t₂，则t₁+t₂=

4(2a-1)

4a2+1

，t₁t₂=

-8

4a2+1

，
∵A，B的中点为P（2，1），∴t₁+t₂=0
解之得a=

1

2

，∴t₁t₂=-4，∵|AP|=

12+(-

1

2

)2

|t1|=

5

2

|t₁|，|BP|=

5

2

|t₂|，
∴|AB|=

5

2

（|t₁|+|t₁|）=

5

2

×

(t1+t2)2-4t1t2

=2

5

，
（2）P（2，1）是弦AB的一个三等分点，∴|AP|=

1

2

|PB|，
∴

1+a2

|t₁|=2

1+a2

|t₂|，?t₁=-2t₂，
∴t₁+t₂=-t₂=

4(2a-1)

4a2+1

，t₁t₂=-2t

22

=

-8

4a2+1

，
∴t

22

=

4

4a2+1

，∴

16(2a-1)2

(4a2+1)2

=

4

4a2+1

，解得a=

4±

7

6

，
∴直线l的直角坐标方程y-1=

4±

7

6

（x-2）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知直线l：x=2+ty=1-at（t为参数），与椭圆x2+4y2=16交于A、B两点．..”的主要目的是检查您对于考点“高中直线的参数方程”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中直线的参数方程”。

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