发布人：繁体字网（www.fantiz5.com） 发布时间：2016-03-06 07:30:00
| 试题原文 |
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| 解：首先证明一个“基本事实”： 一个等差数列中，若有连续三项成等比数列，则这个数列的公差d0=0． 事实上，设这个数列中的连续三项a-d0，a，a+d0成等比数列，则a2=(a-d0)(a+d0)，由此得d0=0． (Ⅰ)(ⅰ)当n=4时，由于数列的公差d≠0，故由“基本事实”推知，删去的项只可能为a2或a3， ①若删去a2，则由a1，a3，a4成等比数列，得(a1+2d)2=a1(a1+3d)， 因d≠0，故由上式得a1= -4d，即  =-4，此时数列为-4d，-3d，-2d，-d，满足题设． ②若删去a3，则由a1，a2，a4成等比数列，得(a1+d)2=a1（a1+3d）， 因d≠0，故由上式得a1=d，即  =1，此时数列为d，2d，3d，4d，满足题设； 综上可知， 的值为-4或1。(ⅱ)若n≥6，则从满足题设的数列a1，a2，…an中删去一项后得到的数列，必有原数列中的连续三项，从而这三项既成等差数列又成等比数列， 故由“基本事实”知，数列a1，a2，…an的公差必为0，这与题设矛盾，所以满足题设的数列的项数n≤5． 又因题设n≥4，故n=4或5， 当n=4时，由(ⅰ)中的讨论知存在满足题设的数列； 当n=5时，若存在满足题设的数列a1，a2，a3，a4，a5， 则由“基本事实”知，删去的项只能是a3，从而a1，a2，a4，a5成等比数列， 故(a1+d)2=a1(a1+3d)，及(a1+3d)2=(a1+d)(a1+4d)， 分别化简上述两个等式，得a1d=d2及a1d=-5d2，故d=0，矛盾． 因此，不存在满足题设的项数为5的等差数列； 综上可知，n只能为4． (Ⅱ)假设对于某个正整数n，存在一个公差为d′的n项等差数列  ，其中三项  成等比数列，这里 ，则有  ，化简，得  ，（*）由  知， 与 或同时为零或均不为零，若  =0且 =0，则有 ，即  ，得 ，从而 ，矛盾；因此，  与 都不为零，故由（*）式，得  ，因为m1，m2，m3均为非负整数， 所以上式右边为有理数，从而  是一个有理数，于是，对于任意的正整数n≥4，只要取  为无理数，则相应的数列b1，b2，…，bn就是满足要求的数列，例如，取b1=1， ，那么n项数列 满足要求． |
经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“(Ⅰ)设a1，a2，…an是各项均不为零的n(n≥4)项等差数列，且公差d≠0。..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的定义及性质”。
的数值；