已知数列{an}满足条件：a1=t，an+1=2an+1．（I）判断数列{an+1}是否为等比数列；（Ⅱ）若t=1，令cn=2nan?an+1，记Tn=c1+c2+c3+…+cn．证明：（i）cn=1an-1an+1；（ii）Tn＜1．-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}满足条件：a1=t，an+1=2an+1．（I）判断数列{an+1}是否为..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-09 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}满足条件：a₁=t，a_n+1=2a_n+1．
（I）判断数列{a_n+1}是否为等比数列；
（Ⅱ）若t=1，令cn=

2

n

an?an+1

，记Tn=c1+c2+c3+…+cn．
证明：
（i）cn=

1

an

-

1

an+1

；
（ii）T_n＜1．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解（I）由题意可得，a_n+1+1=2a_n+2=2（a_n+1）
∵a₁+1=t+1
∴当t=-1时，数列{a_n+1}不是等比数列
当t≠-1时，数列{a_n+1}是以t+1为首项，以2为公比的等比数列；
（II）当t=1时，由（I）知an+1=2?2n-1
∴an=2n-1
∴Cn=

2n

anan+1

=

2n

(2n-1)(2n+′1-1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1-1

=

1

an

-

1

an+1

∴Tn=1-

1

3

+

1

3

-

1

7

+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1-1

)
=1-

1

2n+1-1

＜1

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}满足条件：a1=t，an+1=2an+1．（I）判断数列{an+1}是否为..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的定义及性质”。

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