已知函数f(x)=ln(1+2x)+ax，a∈R．（I）证明当a＜0时，?x∈（0，+∞），总有f（x+1）＞f（x）；（II）若f（x）存在极值点，求a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=ln(1+2x)+ax，a∈R．（I）证明当a＜0时，?x∈（0，+∞），总..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-22 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=ln(1+2x)+

a

x

，a∈R．
（I）证明当a＜0时，?x∈（0，+∞），总有f（x+1）＞f（x）；
（II）若f（x）存在极值点，求a的取值范围．

试题来源：通州区一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：全称量词与存在性量词

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）证明：求导函数可得f′（x）=

2

1+2x

-

a

x2

∵a＜0时，x∈（0，+∞），∴f′（x）＞0
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增
∵x+1＞x＞0
∴f（x+1）＞f（x）；
（II）令f′（x）=0，可得

2

1+2x

-

a

x2

=0（x＞-

1

2

）
∵f（x）存在极值点，
∴

2

1+2x

-

a

x2

=0在x＞-

1

2

时成立
∴a=

2x2

1+2x

x=0时，a=0，f（x）=ln（1+2x），函数不存在极值点；
x≠0时，a=

2

1

x2

+

2

x

=

2

(

1

x

+1)2-1

∵x＞-

1

2

，∴(

1

x

+1)2-1＞0
∴

2

(

1

x

+1)2-1

＞2
∴a＞2．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=ln(1+2x)+ax，a∈R．（I）证明当a＜0时，?x∈（0，+∞），总..”的主要目的是检查您对于考点“高中全称量词与存在性量词”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中全称量词与存在性量词”。

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