记定义在[-1，1]上的函数f（x）=x2+px+q（p，q∈R）的最大值与最小值分别为M，m．又记h（p）=M-m．（Ⅰ）当0≤p≤2时，求M、m（用p，q表示），并证明h（p）≥1；（Ⅱ）写出h（p）的解析式（不必写出求-数学试题及答案

1、试题题目：记定义在[-1，1]上的函数f（x）=x2+px+q（p，q∈R）的最大值与最小值分..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-29 07:30:00

试题原文

记定义在[-1，1]上的函数f（x）=x²+px+q（p，q∈R）的最大值与最小值分别为M，m．又记h（p）=M-m．
（Ⅰ）当0≤p≤2时，求M、m（用p，q表示），并证明h（p）≥1；
（Ⅱ）写出h（p）的解析式（不必写出求解过程）；
（Ⅲ）在所有形如题设的函数f（x）中，求出这样的f（x），使得|f（x）|的最大值为最小．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）0≤p≤2?-1≤-

p

2

≤0，又f（x）图象开口向上，
∴M=f(1)=1+p+q，m=f(-

p

2

)=q-

p2

4

∴h(p)=M-m=

1

4

(p+2)2≥1（4分）
（Ⅱ）h(p)=

-2p

(p＜-2)

1

4

(p-2)2，

(-2≤p＜0)

1

4

(p+2)2，

(0≤p≤2)

2p，

，

(p＞2)

（Ⅲ）由（Ⅱ）知h(p)=M-m=

-2p＞4

(p＜-2)

1

4

(p-2)2＞1，

(-2≤p＜0)

1

4

(p+2)2≥1，

(0≤p≤2)

2p＞4，

，

(p＞2)

，∴M-m≥1．
∵在[-1，1]上，总有|f(x)|max≥

M-m

2

，当且仅当M=-m时取”=”；
又，

M-m

2

≥

1

2

，当且仅当p=0时取“=”，
∴当

M-m

2

=

1

2

时的f（x）符合条件．
此时，p=0，M=1+q，m=q．由M=-m得1+q=-q．∴q=-

1

2

即所求函数为：f（x）=x2-

1

2

．（13分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“记定义在[-1，1]上的函数f（x）=x2+px+q（p，q∈R）的最大值与最小值分..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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