已知奇函数f（x）=x+bx2+a的定义域为R，f（1）=12．（1）求实数a，b的值；（2）证明函数f（x）在区间（-1，1）上为增函数；（3）若g（x）=3-x-f（x），证明函数g（x）在（-1，1）上有零点．-数学试题及答案

1、试题题目：已知奇函数f（x）=x+bx2+a的定义域为R，f（1）=12．（1）求实数a，b的值..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-29 07:30:00

试题原文

已知奇函数f（x）=

x+b

x2+a

的定义域为R，f（1）=

1

2

．
（1）求实数a，b的值；
（2）证明函数f（x）在区间（-1，1）上为增函数；
（3）若g（x）=3^-x-f（x），证明函数g（x）在（-1，1）上有零点．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由于奇函数f（x）=

x+b

x2+a

的定义域为R，故有f（0）=0，再由f（1）=

1

2

，可得实数a=1，b=0．
（2）由（1）可得f（x）=

x

x2+1

，设-1＜x₁＜x₂＜1，则可得f（x₂）-f（x₁）=

x2

x22+1

-

x1

x12+1

=

(x2-x1)(1-x1?x2)

(x22+1)(x12+1)

．
由题设可得 x₂-x₁＞0，1-x₁?x₂＞0，∴

(x2-x1)(1-x1?x2)

(x22+1)(x12+1)

＞0，f（x₂）-f（x₁）＞0，故函数f（x）在区间（-1，1）上为增函数．
（3）由于函数g（x）=3^-x-f（x）=3^-x-

x

x2+1

，g（-1）g（1）=（3+

1

2

）（

1

3

-

1

2

）=-

7

12

＜0，
可得函数 g（x）在（-1，1）上有零点．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知奇函数f（x）=x+bx2+a的定义域为R，f（1）=12．（1）求实数a，b的值..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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