若0＜a，b，c＜1，且满足ab+bc+ca=1，求11-a+11-b+11-c的最小值．-数学试题及答案

1、试题题目：若0＜a，b，c＜1，且满足ab+bc+ca=1，求11-a+11-b+11-c的最小值．

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-01 07:30:00

试题原文

若0＜a，b，c＜1，且满足ab+bc+ca=1，求

1

1-a

+

1

1-b

+

1

1-c

的最小值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

∵0＜a，b，c＜1
∴1-a，1-b，1-c∈（0，1）
∵

1

1-a

+

1

1-b

+

1

1-c

[（1-a）+（1-b）+（1-c）]
=1+

1-b

1-a

+

1-c

1-a

+1+

1-a

1-b

+

1-c

1-b

+1+

1-a

1-c

+

1-b

1-c

=3+(

1-b

1-a

+

1-a

1-b

)+(

1-c

1-a

+

1-a

1-c

)+(

1-c

1-b

+

1-b

1-c

)
≥3+2

(1-b)(1-a)

(1-a)(1-b)

+2

(1-c)(1-a)

(1-a)(1-c)

+2

(1-c)(1-b)

(1-b)(1-c)

=9
当且仅当a=b=c=

3

取等号
∴

1

1-a

+

1

1-b

+

1

1-c

≥

9

3-(a+b+c)

又∵2（a+b+c）²=（a²+b²）+（b²+c²）+（c²+a²）+4ab+4ac+4bc
≥2ab+2ac+2bc+4ab+4ac+4bc=6（ab+ac+bc）=6
∴a+b+c≥

3

∴3-(a+b+c)≤3-

3

∴

9

3-(a+b+c)

≥

9

3-

3

=

9-3

3

1

1-a

+

1

1-b

+

1

1-c

≥

9

3-(a+b+c)

≥

9-3

3

2

（当且仅当a=b=c=

3

）时取等号
故

1

1-a

+

1

1-b

+

1

1-c

的最小值

9-3

3

2

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“若0＜a，b，c＜1，且满足ab+bc+ca=1，求11-a+11-b+11-c的最小值．”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：