已知函数f(x)=x2+2x+a，x＜0lnx，x＞0，其中a是实数，设A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））为该函数图象上的点，且x1＜x2．（I）指出函数f（x）的单调区间；（II）若函数f（x）的图象在点A，B处-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=x2+2x+a，x＜0lnx，x＞0，其中a是实数，设A（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=

x2+2x+a，x＜0

lnx，x＞0

，其中a是实数，设A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））为该函数图象上的点，且x₁＜x₂．
（I）指出函数f（x）的单调区间；
（II）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x₂＜0，求x₂-x₁的最小值；
（III）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．

试题来源：四川试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）当x＜0时，f（x）=（x+1）²+a，
∴f（x）在（-∞，-1）上单调递减，在（-1，0）上单调递增；
当x＞0时，f（x）=lnx，在（0，+∞）单调递增．
（II）∵x₁＜x₂＜0，∴f（x）=x²+2x+a，∴f^′（x）=2x+2，
∴函数f（x）在点A，B处的切线的斜率分别为f^′（x₁），f^′（x₂），
∵函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，
∴f′(x1)?f′(x2)=-1，
∴（2x₁+2）（2x₂+2）=-1．
∴2x₁+2＜0，2x₂+2＞0，
∴x2-x1=

1

2

[-(2x1+2)+(2x2+2)]≥

[-(2x1+2)](2x2+2)

=1，当且仅当-（2x₁+2）=2x₂+2=1，即x1=-

3

2

，x2=-

1

2

时等号成立．
∴函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x₂＜0，求x₂-x₁的最小值为1．
（III）当x₁＜x₂＜0或0＜x₁＜x₂时，∵f′(x1)≠f′(x2)，故不成立，∴x₁＜0＜x₂．
当x₁＜0时，函数f（x）在点A（x₁，f（x₁）），处的切线方程为
y-(

x

21

+2x1+a)=(2x1+2)(x-x1)，即y=(2x1+2)x-

x

21

+a．
当x₂＞0时，函数f（x）在点B（x₂，f（x₂））处的切线方程为y-lnx2=

1

x2

(x-x2)，即y=

1

x2

x+lnx2-1．
函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合的充要条件是

1

x2

=2x1+2 ①

lnx2-1=-

x

21

+a ②

，
由①及x₁＜0＜x₂可得-1＜x₁＜0，
由①②得a=

x

21

+ln

1

2x1+2

-1=

x

21

-ln(2x1+2)-1．
∵函数y=

x

21

-1，y=-ln（2x₁+2）在区间（-1，0）上单调递减，
∴a（x₁）=

x

21

-ln(2x1+2)-1在（-1，0）上单调递减，且x₁→-1时，ln（2x₁+2）→-∞，即-ln（2x₁+2）→+∞，也即a（x₁）→+∞．
x₁→0，a（x₁）→-1-ln2．
∴a的取值范围是（-1-ln2，+∞）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=x2+2x+a，x＜0lnx，x＞0，其中a是实数，设A（..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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