数列an中，a1=t，a2=t2，其中t≠0且t≠1，x=t是函数f（x）=an-1x3-3[（t+1）an-an+1]x+1（n≥2）的一个极值点．（1）证明：数列an+1-an是等比数列；（2）求an．-数学试题及答案

1、试题题目：数列an中，a1=t，a2=t2，其中t≠0且t≠1，x=t是函数f（x）=an-1x3-3[..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

数列a_n中，a₁=t，a₂=t²，其中t≠0且t≠1，x=

t

是函数f（x）=a_n-1x³-3[（t+1）a_n-a_n+1]x+1（n≥2）的一个极值点．
（1）证明：数列a_n+1-a_n是等比数列；
（2）求a_n．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）证明：∵f（x）=a_n-1x³-3[（t+1）a_n-a_n+1]x+1∴f'（x）=3a_n-1x²-3[（t+1）a_n-a_n+1]，
根据已知f′(

t

)=0，即ta_n-1-（t+1）a_n+a_n+1=0，即a_n+1-a_n=t（a_n-a_n-1），当t≠1时，数列a_n+1-a_n是等比数列．（6分）
（2）由于a₂-a₁=t²-t=t（t-1），所以a_n+1-a_n=（t-1）tⁿ．
所以a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）++（a₂-a₁）+a₁=（t-1）t^n-1+（t-1）t^n-1++（t-1）t+t=(t-1)×

t(1-tn-1)

1-t

+t=tn．
所以数列a_n的通项公式a_n=tⁿ．（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“数列an中，a1=t，a2=t2，其中t≠0且t≠1，x=t是函数f（x）=an-1x3-3[..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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