设函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0），曲线y=f（x）通过点（0，2a+3），且在点（-1，f（-1））处的切线垂直于y轴．（Ⅰ）用a分别表示b和c；（Ⅱ）当bc取得最小值时，求函数g（x）=-f（x）e-x的单调区间．-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0），曲线y=f（x）通过点（0，2a+3），且在点（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

设函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0），曲线y=f（x）通过点（0，2a+3），且在点（-1，f（-1））
处的切线垂直于y轴．
（Ⅰ）用a分别表示b和c；
（Ⅱ）当bc取得最小值时，求函数g（x）=-f（x）e^-x的单调区间．

试题来源：重庆试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由f（x）=ax²+bx+c得到f'（x）=2ax+b．
因为曲线y=f（x）通过点（0，2a+3），故f（0）=c=2a+3，
又曲线y=f（x）在（-1，f（-1））处的切线垂直于y轴，故f'（-1）=0，
即-2a+b=0，因此b=2a．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得bc=2a(2a+3)=4(a+

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4

)2-

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，
故当a=-

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时，bc取得最小值-

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．
此时有b=-

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2

，c=

3

2

．
从而f(x)=-

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x2-

3

2

x+

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2

，f′(x)=-

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2

x-

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，g（x）=-f（x）e^-x=（

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x²+

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2

x-

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）e^-x，
所以g′(x)=[f(x)-f′(x)e-x]=-

3

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(x2-4)e-x
令g'（x）=0，解得x₁=-2，x₂=2．
当x∈（-∞，-2）时，g'（x）＜0，故g（x）在x∈（-∞，-2）上为减函数；
当x∈（-2，2）时，g'（x）＞0，故g（x）在x∈（2，+∞）上为减函数．
当x∈（2，+∞）时，g'（x）＜0，故g（x）在x∈（2，+∞）上为减函数．
由此可见，函数g（x）的单调递减区间为（-∞，-2）和（2，+∞）；单调递增区间为（-2，2）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0），曲线y=f（x）通过点（0，2a+3），且在点（..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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