设函数f（x）=（x-1）2+mlnx，其中m为常数．（1）当m＞12时，判断函数f(x)在定义域上的单调性；（2）若函数f（x）有极值点，求实数m的取值范围及f（x）的极值点．（3）当n≥3，n∈N时，证明：1n2-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f（x）=（x-1）2+mlnx，其中m为常数．（1）当m＞12时，判..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

设函数f（x）=（x-1）²+mlnx，其中m为常数．
（1）当m＞

1

2

时，判断函数f(x)在定义域上的单调性；
（2）若函数f（x）有极值点，求实数m的取值范围及f（x）的极值点．
（3）当n≥3，n∈N时，证明：

1

n2

＜ln(n+1)-lnn＜

1

n

．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）函数f（x）=（x-1）²+mlnx，可得函数的定义域为（0，+∞）
f′（x）=2（x+1）+

b

x

=

2x2-2x+m

x

=

2(x-

1

2

)2+m-

1

2

x

（x＞0）
当m＞

1

2

时，可知f′（x）＞0对任意x∈（0，+∞）恒成立，
∴函数f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数．
（2）由（1）知，当m＞

1

2

时，函数f（x）在（0，+∞）上是单调增函数，没有极值点．
当m=

1

2

时，f′(x)=

2(x-

1

2

)2

x

≥0，函数f（x）在（0，+∞）上是单调增函数，没有极值点．
当m＜

1

2

时，令f'（x）=0得，x1=

1-

1-2m

2

，x2=

1+

1-2m

2

…（6分）
①当m≤0时，x1=

1-

1-2m

2

≤0?(0，+∞)，则x2=

1+

1-2m

2

≥1∈(0，+∞)，
列表：

x	（0，x₂）	x₂	（x₂，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	↘	极小值	↗

由此看出，当m≤0时，f（x）有唯一极小值点x2=

1+

1-2m

2

．…（8分）
②当0＜m＜

1

2

时，0＜x₁＜x₂＜1，
列表：

x	（0，x₁）	x₁	（x₁，x₂）	x₂	（x₂，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

由此看出，当0＜m＜

1

2

时，f（x）有极大值点x1=

1-

1-2m

2

和极小值点x2=

1+

1-2m

2

．
综上，当m≤0时，f（x）有唯一极小值点x2=

1+

1-2m

2

，
当0＜m＜

1

2

时，f（x）有极小值点x1=

1-

1-2m

2

和极大值点x2=

1+

1-2m

2

．…（10分）
（3）由（2）知，m=-1时，函数f（x）=（x-1）²-lnx，
此时，函数f（x）有唯一极小值点x=

1+

1-2m

2

=

1+

3

2

，
当x∈(0，

1+

3

2

)时，f'（x）＜0，f（x）在(0，

1+

3

2

)上是减函数，
∵n≥3时，0＜1＜1+

1

n

＜

4

3

＜

1+

3

2

，
∴f(1+

1

n

)＜f(1)，即

1

n2

-ln(1+

1

n

)＜0
∴n≥3时，

1

n2

＜ln(n+1)-lnn．
令函数h（x）=（x-1）-lnx（x＞0），则h′(x)=1-

1

x

=

x-1

x

当x＞1时，h′（x）＞0，h（x）在（1，+∞）上是增函数，
∵n≥3时，1＜1+

1

n

，∴h(1+

1

n

)＞f（1），即

1

n

-ln(1+

1

n

)＞0
∴n≥3时，ln（n+1）-lnn＜

1

n

综上，当n≥3，n∈N时，不等式

1

n2

＜ln(n+1)-lnn＜

1

n

恒成立．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f（x）=（x-1）2+mlnx，其中m为常数．（1）当m＞12时，判..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：