已知函数f（x）=ex，A（a，0）为一定点，直线x=t（t≠0）分别与函数f（x）的图象和x轴交于点M，N，记△AMN的面积为S（t）．（Ⅰ）当a=0时，求函数S（t）的单调区间；（Ⅱ）当a＞2时，若?t0∈[0，2]，-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=ex，A（a，0）为一定点，直线x=t（t≠0）分别与函数f（x）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=e^x，A（a，0）为一定点，直线x=t（t≠0）分别与函数f（x）的图象和x轴交于点M，N，记△AMN的面积为S（t）．
（Ⅰ）当a=0时，求函数S（t）的单调区间；
（Ⅱ）当a＞2时，若?t₀∈[0，2]，使得S（t₀）≥e，求a的取值范围．

试题来源：海淀区二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）因为S(t)=

1

2

|t-a|et，其中t≠a…（2分）
当a=0，S(t)=

1

2

|t|et，其中t≠0
当t＞0时，S(t)=

1

2

tet，S′(t)=

1

2

(t+1)et，
所以S'（t）＞0，所以S（t）在（0，+∞）上递增，…（4分）
当t＜0时，S(t)=-

1

2

tet，S′(t)=-

1

2

(t+1)et，
令S′(t)=-

1

2

(t+1)et＞0，解得t＜-1，所以S（t）在（-∞，-1）上递增
令S′(t)=-

1

2

(t+1)et＜0，解得t＞-1，所以S（t）在（-1，0）上递减 …（7分）
综上，S（t）的单调递增区间为（0，+∞），（-∞，-1），S（t）的单调递增区间为（-1，0）
（II）因为S(t)=

1

2

|t-a|et，其中t≠a
当a＞2，t∈[0，2]时，S(t)=

1

2

(a-t)et
因为?t₀∈[0，2]，使得S（t₀）≥e，所以S（t）在[0，2]上的最大值一定大于等于e，
S′(t)=-

1

2

[t-(a-1)]et，令S'（t）=0，得t=a-1…（8分）
当a-1≥2时，即a≥3时S′(t)=-

1

2

[t-(a-1)]et＞0对t∈（0，2）成立，S（t）单调递增，
所以当t=2时，S（t）取得最大值S(2)=

1

2

(a-2)e2
令

1

2

(a-2)e2≥e，解得 a≥

2

e

+2，
所以a≥3…（10分）
当a-1＜2时，即a＜3时S′(t)=-

1

2

[t-(a-1)]et＞0对t∈（0，a-1）成立，S（t）单调递增，S′(t)=-

1

2

[t-(a-1)]et＜0对t∈（a-1，2）成立，S（t）单调递减，
所以当t=a-1时，S（t）取得最大值S(a-1)=

1

2

ea-1，
令S(a-1)=

1

2

ea-1≥e，解得a≥ln2+2，
所以ln2+2≤a＜3…（12分）
综上所述，ln2+2≤a…（13分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=ex，A（a，0）为一定点，直线x=t（t≠0）分别与函数f（x）..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：