已知函数f(x)=12x2-mlnx+(m-1)x，m∈R．（Ⅰ）若函数f（x）在x=2处有极值，求m的值；（Ⅱ）当m≤0时，讨论函数f（x）的单调性；（Ⅲ）求证：当m=-2时，对任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，有f(-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=12x2-mlnx+(m-1)x，m∈R．（Ⅰ）若函数f（x）在x=2处有极值..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数 f(x)=

1

2

x2-mlnx+(m-1)x，m∈R．
（Ⅰ）若函数 f（x）在x=2处有极值，求m 的值；
（Ⅱ）当 m≤0时，讨论函数 f（x）的单调性；
（Ⅲ）求证：当 m=-2时，对任意的 x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁≠x₂，有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞-1．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）f′(x)=x-

m

x

+m-1
∵函数 f（x）在x=2处有极值∴f′(2)=2-

m

2

+m-1=0
∴m=-2，经检验m=-2符合题意．∴m=-2．
（Ⅱ）∵f′(x)=x-

m

x

+m-1=

x2+(m-1)x-m

x

=

(x-1)(x+m)

x

∴（1）当-1＜m≤0时，若x∈（0，-m）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；
当x∈（-m，1）时，f'（x）＜0，f（x）为减函数；
当x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）为增函数．
（2）当m=-1时，f′(x)=

(x-1)2

x

≥0，f（x）在（0，+∞）上为增函数．
（3）当m＜-1即-m＞1时，x∈（0，1）时，f'（x）＞0，f（x）为增函数；
当x∈（1，-m）时，f'（x）＜0，f（x）为减函数；
当x∈（-m，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）为增函数．
（Ⅲ）当m=-2时，函数f（x）=

1

2

x2+2lnx-3x．
构造辅助函数g（x）=f（x）+x，并求导得
g'（x）=x+

2

x

-2=

x2-2x+2

x

=

(x-1)2+1

x

∴g'（x）＞0，g（x）为增函数．
∴对任意0＜x₁＜x₂，都有g（x₁）＜g（x₂）成立，
即f（x₁）+x₁＜f（x₂）+x₂．
即f（x₁）-f（x₂）＞x₁-x₂．
又∵x₁-x₂＜0，
∴

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞-1（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=12x2-mlnx+(m-1)x，m∈R．（Ⅰ）若函数f（x）在x=2处有极值..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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