对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动点．如果函数f(x)=x2+abx-c(b，c∈N*)有且仅有两个不动点0和2，且f(-2)＜-12．（1）求实数b，c的值；（2）已知各项不-数学试题及答案

1、试题题目：对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-08 07:30:00

试题原文

对于函数f（x），若存在x₀∈R，使f（x₀）=x₀成立，则称x₀为f（x）的不动点．如果函数f(x)=

x2+a

bx-c

(b，c∈N*)有且仅有两个不动点0和2，且f(-2)＜-

1

2

．
（1）求实数b，c的值；
（2）已知各项不为零的数列{a_n}的前n项之和为S_n，并且4Sn?f(

1

an

)=1，求数列{a_n}的通项公式；
（3）求证：(1-

1

an

)an+1＜

1

e

＜(1-

1

an

)an．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设

x2+a

bx-c

=x得：（1-b）x²+cx+a=0，由根与系数的关系，得：

2+0=-

c

1-b

2?0=

a

1-b

，
解得

a=0

b=1+

c

2

，代入解析式 f(x)=

x2

(1+

c

2

)x-c

，由 f(-2)=

-2

1+c

＜-

1

2

，
得c＜3，又c∈N，b∈N，若c=0，b=1，则f（x）=x不止有两个不动点，∴c=2，b=2，于是f(x)=

x2

2(x-1)

，(x≠1)．
（2）由题设，知 4Sn?

(

1

an

)2

2(

1

an

-1)

=1，所以，2S_n=a_n-a_n²①；
且a_n≠1，以n-1代n得：2S_n-1=a_n-1-a_n-1²，②；
由①-②得：2a_n=（a_n-a_n-1）-（a_n²-a_n-1²），即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1+1）=0，
∴a_n=-a_n-1或a_n-a_n-1=-1，以n=1代入①得：2a₁=a₁-a₁²，
解得a₁=0（舍去）或a₁=-1；由a₁=-1，若a_n=-a_n-1得a₂=1，这与a_n≠1矛盾，
∴a_n-a_n-1=-1，即{a_n}是以-1为首项，-1为公差的等差数列，∴a_n=-n；
（3）由a_n=-n，知(1-

1

an

)an+1=(1+

1

n

)-(n+1)=(

n

n+1

)n+1，
(1-

1

an

)an=(1+

1

n

)-n=(

n

n+1

)n，
当n=1时，(

n

n+1

)n+1=

1

4

，(

n

n+1

)n=

1

2

，(

n

n+1

)n+1＜

1

e

＜(

n

n+1

)n成立．
假设n=k时，(

k

k+1

)k+1＜

1

e

＜(

k

k+1

)k成立，
则当n=k+1时，(

k+1

k+2

)k+2＜

1

e

＜(

k+1

k+2

)k+1成立．
所以，(1-

1

an

)an+1＜

1

e

＜(1-

1

an

)an．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：