设函数fn(x)=xn+bx+c(n∈N*，b，c∈R)．（1）当n=2，b=1，c=-1时，求函数fn（x）在区间(12，1)内的零点；（2）设n≥2，b=1，c=-1，证明：fn（x）在区间(12，1)内存在唯一的零点；（3）设n=2-数学试题及答案

1、试题题目：设函数fn(x)=xn+bx+c(n∈N*，b，c∈R)．（1）当n=2，b=1，c=-1时，求函..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-08 07:30:00

试题原文

设函数fn(x)=xn+bx+c(n∈N*，b，c∈R)．
（1）当n=2，b=1，c=-1时，求函数f_n（x）在区间(

1

2

，1)内的零点；
（2）设n≥2，b=1，c=-1，证明：f_n（x）在区间(

1

2

，1)内存在唯一的零点；
（3）设n=2，若对任意x₁，x₂∈[-1，1]，有|f₂（x₁）-f₂（x₂）|≤4，求b的取值范围．

试题来源：崇明县一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f2(x)=x2+x-1，
令f₂（x）=0，得x=

-1±

5

2

，
所以f₂（x）在区间（

1

2

，1）内的零点是x=

-1+

5

2

．
（2）证明：因为 fn(

1

2

)＜0，f_n（1）＞0．
所以fn(

1

2

)?f_n（1）＜0．
所以f_n（x）在(

1

2

，1)内存在零点．
任取x₁，x₂∈（

1

2

，1），且x₁＜x₂，
则f_n（x₁）-f_n（x₂）=（x1n-x2n）+（x₁-x₂）＜0，
所以f_n（x）在(

1

2

，1)内单调递增，
所以f_n（x）在(

1

2

，1)内存在唯一零点．
（3）当n=2时，f₂（x）=x²+bx+c．
对任意x₁，x₂∈[-1，1]都有|f₂（x₁）-f₂（x₂）|≤4，
等价于f₂（x）在[-1，1]上的最大值与最小值之差M≤4．
据此分类讨论如下：
①当|

b

2

|＞1，即|b|＞2时，M=|f₂（1）-f₂（-1）|=2|b|＞4，与题设矛盾．
②当-1≤-

b

2

＜0，即0＜b≤2时，M=f₂（1）-f₂（-

b

2

）=（

b

2

+1）²≤4恒成立．
③当0≤-

b

2

≤1，即-2≤b≤0时，M=f₂（-1）-f₂（-

b

2

）=（

b

2

-1）²≤4恒成立．
综上可知，-2≤b≤2．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数fn(x)=xn+bx+c(n∈N*，b，c∈R)．（1）当n=2，b=1，c=-1时，求函..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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