已知函数f（x）=x3﹣ax2﹣3x（1）若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；（2）若x=﹣是f（x）的一个极值点，求f（x）在[1，a]上的最大值；（3）在（2）的条件下，是否存在实数b，-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x3﹣ax2﹣3x（1）若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，求实..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-17 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=x³﹣ax²﹣3x
（1）若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；
（2）若x=﹣

是f（x）的一个极值点，求f（x）在[1，a]上的最大值；
（3）在（2）的条件下，是否存在实数b，使得函数g（x）=bx的图象与函数f（x）的图象恰有3个交点，若存在，请求出实数b的取值范围；若不存在，试说明理由．

试题来源：山东省月考题试题题型：解答题试题难度：偏难适用学段：高中考察重点：函数的零点与方程根的联系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（1）求导函数，可得f'（x）=3x²﹣2ax﹣3
∵f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，
∴f'（x）≥0在区间[1，+∞）上恒成立，
即3x²﹣2ax﹣3≥0在区间[1，+∞）上恒成立，
则必有

且f'（1）=﹣2a≥0，
∴a≤0
（2）依题意x=﹣

是f（x）的一个极值点，
∴

即

∴a=4，
∴f（x）=x³﹣4x²﹣3x
令f'（x）=3x²﹣8x﹣3=0，得

则当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

（3）函数g（x）=bx的图象与函数f（x）的图象恰有3个交点，
即方程x³﹣4x²﹣3x=bx恰有3个不等实根
∴x³﹣4x²﹣3x﹣bx=0恰有3个不等实根
∵x=0是其中一个根，
∴方程x²﹣4x﹣3﹣b=0有两个非零不等实根，
∴

∴b＞﹣7，且b≠﹣3

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x3﹣ax2﹣3x（1）若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，求实..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的零点与方程根的联系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的零点与方程根的联系”。

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