函数f（x）=x4-2ax2，g（x）=1．（1）求证：函数f（x）与g（x）的图象恒有公共点；（2）当x∈（0，1]时，若函数f（x）图象上任一点处切线斜率均小于1，求实数a的取值范围；（3）当x∈[0，1]时，关-数学试题及答案

1、试题题目：函数f（x）=x4-2ax2，g（x）=1．（1）求证：函数f（x）与g（x）的图象恒有公共..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-17 07:30:00

试题原文

函数f（x）=x⁴-2ax²，g（x）=1．
（1）求证：函数f（x）与g（x）的图象恒有公共点；
（2）当x∈（0，1]时，若函数f（x）图象上任一点处切线斜率均小于1，求实数a的取值范围；
（3）当x∈[0，1]时，关于x的不等式|f′（x）|＞g（x）的解集为空集，求所有满足条件的实数a的值．

试题来源：武汉模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：导数的运算

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设h（x）=f（x）-g（x）
即证函数h（x）与x轴有交点，
即证方程x⁴-2ax²-1=0有实根，设t=x²
即证方程t²-2at-1=0有非负实数根，
而△=4a²+4＞0，t₁t₂=-1＜0
∴方程t⁴-2at-1=0恒有正根
∴f（x）与g（x）图象恒有公共点（4分）
（2）f′（x）=4x³-4ax
∵当0＜x≤1时4xa＞4x³-1恒成立
即a＞x2-

1

4x

，设y=x²-

1

4x

，
则y′=2x+

1

4x2

＞0，
∴y=x²-

1

4x

在（0，1]上单调递增，
∴a＞1-

1

4

=

3

4

∴a的取值范围为(

3

4

，+∞)（8分）
（3）由题设知当x∈[0，1]时，|4x³-4ax|≤1恒成立
记F（x）=4x³-4ax
若a≤0则F（1）=4（1-a）≥4不满足条件
故a＞0而F′(x)=12x2-4a=12(x-

a

3

)(x+

a

3

)
①当

a

3

＜1时，即0＜a＜3时，F（x）在[0，

a

3

]上递减，在[

a

3

，1

]上递增，
于是

F(x)min=F(

a

3

)

F(x)max=max{F(0)，F(1)}=max{0，4-4a}

∴

F(

a

3

)≥-1

4-4a≤1

，∴

a≤

3

4

a≥

3

4

，∴a=

3

4

②当

a

3

≥1时，即a≥3时，F（x）在[0，1]上递减，
于是

F(x)min=F(1)=4-4a≥-1?a≤

5

4

F(x)max=F(0)=0≤1

矛盾
综上所述：a=

3

4

（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“函数f（x）=x4-2ax2，g（x）=1．（1）求证：函数f（x）与g（x）的图象恒有公共..”的主要目的是检查您对于考点“高中导数的运算”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中导数的运算”。

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