已知点列B1（1，y1），B2（2，y2），…，Bn（n，yn），…（n∈N*）顺次为直线y=x4上的点，点列A1（x1，0），A2（x2，0），…，An（xn，0），…（n∈N*）顺次为x轴上的点，其中x1=a（0＜a＜1），对任意的-数学试题及答案

1、试题题目：已知点列B1（1，y1），B2（2，y2），…，Bn（n，yn），…（n∈N*）顺次为直线..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-18 07:30:00

试题原文

已知点列B₁（1，y₁），B₂（2，y₂），…，B_n（n，y_n），…（n∈N*）顺次为直线y=

x

4

上的点，点列A₁（x₁，0），A₂（x₂，0），…，A_n（x_n，0），…（n∈N*）顺次为x轴上的点，其中x₁=a（0＜a＜1），对任意的n∈N*，点A_n、B_n、A_n+1构成以B_n为顶点的等腰三角形．
（1）证明：数列{y_n}是等差数列；
（2）求证：对任意的n∈N*，x_n+2-x_n是常数，并求数列{x_n}的通项公式；
（3）对上述等腰三角形A_nB_nA_n+1添加适当条件，提出一个问题，并做出解答．（根据所提问题及解答的完整程度，分档次给分）

试题来源：上海模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：已知三角函数值求角

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）依题意有yn=

n

4

，于是yn+1-yn=

1

4

．
所以数列{y_n}是等差数列．（4分）
（2）由题意得

xn+xn+1

2

=n，即x_n+x_n+1=2n，（n∈N^*） ①
所以又有x_n+2+x_n+1=2（n+1）．②
由②-①得：x_n+2-x_n=2，所以x_n+2-x_n是常数．　　　　　　　（6分）
由x₁，x₃，x₅，…；x₂，x₄，x₆，…都是等差数列．x₁=a（0＜a＜1），x₂=2-a，那么得
x_2k-1=x₁+2（k-1）=2k+a-2，x_2k=x₂+2（k-1）=2-a+2（k-1）=2k-a．（k∈N^*）（8分）
故xn=

n+a-1	(n为奇数)
n-a	(n为偶数)

n

4

，要使等腰三角形A_nB_nA_n+1为直角三角形，必须且只须：|A_nA_n+1|=2|B_nC_n|．（13分）
当n为奇数时，有2(1-a)=2×

n

4

，即a=1-

n

4

①
∴当n=1 时，a=

3

4

；当 n=3 时，a=

1

4

，当n≥5，a＜0不合题意．（15分）
当n为偶数时，有2a=2×

n

4

，a=

n

4

，同理可求得
当n=2 时 a=

1

2

当n≥4时，a＜0不合题意．（17分）
综上所述，使等腰三角形A_nB_nA_n+1中，有直角三角形，a的值为

3

4

或

1

4

或

1

2

．（18分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知点列B1（1，y1），B2（2，y2），…，Bn（n，yn），…（n∈N*）顺次为直线..”的主要目的是检查您对于考点“高中已知三角函数值求角”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中已知三角函数值求角”。

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