已知数列{an}满足a1=1，an+1=an2nan+1（n∈N*）．（1）求通项an；（2）设A=limn→+∞3an2an+1，证明：对任意m≥2，且m∈N*，都有A∈＞(1+1m)m．-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}满足a1=1，an+1=an2nan+1（n∈N*）．（1）求通项an；（2）设..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-31 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=

an

2nan+1

（n∈N^*）．
（1）求通项a_n；
（2）设A=

lim

n→+∞

3an

2an+1

，证明：对任意m≥2，且m∈N^*，都有A∈＞(1+

1

m

)m．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数列的极限

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由于a₁=1，a_n+1=

an

2nan+1

，可得

1

an+1

-

1

an

=2ⁿ，
∴

1

a1

=1，

1

a2

-

1

a1

=2，

1

a3

-

1

a2

=22，

1

a4

-

1

a3

=23，…，

1

an

-

1

an-1

=2n-1，
累加可得

1

an

=1+2+2²+2³+…+2^n-1=2ⁿ-1，故有a_n=

1

2n-1

．
（2）A=

lim

n→+∞

3an

2an+1

=

lim

n→∞

3(2n+1-1)

2(2n-1)

=

lim

n→∞

3(2-

1

2n

)

2(1-

1

2n

)

=

3×2

2

=3，
而(1+

1

m

)m的通项公式为 T_r+1=

C

kn

?

1

mk

=

m(m-1)(m-2)…(m-k+1)

k!

?

1

mk

≤

1

k!

，
∴(1+

1

m

)m≤

1

0！

+

1

1！

+

1

2！

+

1

3!

+…+

1

m!

≤1+1+

1

2×1

+

1

3×2

+

1

4×3

+…+

1

m(m-1)

=1+1+（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

m-1

-

1

m

）
=1+1+（1-

1

m

）＜3，
故对任意m≥2，且 m∈N^*，都有A＞(1+

1

m

)m．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}满足a1=1，an+1=an2nan+1（n∈N*）．（1）求通项an；（2）设..”的主要目的是检查您对于考点“高中数列的极限”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数列的极限”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：