已知直线x-2y+4=0经过椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左顶点A和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，点P是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AP，BP与直线l：x=5分别交于M，N两点．（1）求椭圆C-数学试题及答案

1、试题题目：已知直线x-2y+4=0经过椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-07 07:30:00

试题原文

已知直线x-2y+4=0经过椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左顶点A和上顶点D，椭圆C的右顶点为B，点P是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AP，BP与直线l：x=5分别交于M，N两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求线段MN的长度的最小值；
（3）当线段MN的长度最小时，Q点在椭圆上运动，记△BPQ的面积为S，当S在（0，+∞）上变化时，讨论S的大小与Q点的个数之间的关系．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由已知得椭圆C的左顶点为A（-4，0），上顶点为D（0，2），
∴a=4，b=2，
故椭圆C的方程为

x2

16

+

y2

4

=1
（2）直线AP的斜率k显然存在，且k＞0，故可设直线AP的方程为y=k（x+4），从而M（5，9k），设P（x₀，y₀），则kAP?kBP=

y0

x0+4

?

y0

x0-4

=

y02

x02-16

=-

1

4

，∴直线BP的方程为：y=-

1

4k

(x-4)，
得N(5，-

1

4k

)
∴|MN|=|9k+

1

4k

|=9k+

1

4k

≥2

9k?

1

4k

=3
当且仅当9k=

1

4k

即k=

1

6

时等号成立
∴k=

1

6

时，线段MN的长度取最小值3．
（3）由（2）知，当线段MN的长度取最小值时，k=

1

6

，此时直线BP的方程为3x+2y-12=0，P(

16

5

，

6

5

)，|BP|=

2

5

13

设与BP平行的直线l'：3x+2y+t=0
联立

x2

16

+

y2

4

=1

3x+2y+t=0

得10x²+6tx+t²-16=0
由△=36t²-40（t²-16）=0得t=±4

10

当t=-4

10

时，BP与l'的距离为

4

10

-12

13

，此时S_△BPQ=

4

5

(

10

-3)
当t=4

10

时，BP与l'的距离为

4

10

+12

13

，此时S_△BPQ=

4

5

(

10

+3)
∴当0＜s＜

4

5

(

10

-3)时，这样的Q点有4个
当S=

4

5

(

10

-3)时，这样的Q点有3个
当

4

5

(

10

-3)＜s＜

4

5

(

10

+3)时，这样的Q点有2个
当S=

4

5

(

10

+3)时，这样的Q点有1个
当S＞

4

5

(

10

+3)时，这样的Q点不存在．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知直线x-2y+4=0经过椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的标准方程及图象”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：