已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)，其相应于焦点F（2，0）的准线方程为x=4．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知过点F1（-2，0）倾斜角为θ的直线交椭圆C于A，B两点．求证：|AB|=422-cos2θ；（Ⅲ）过-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)，其相应于焦点F（2，0）的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-07 07:30:00

试题原文

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，其相应于焦点F（2，0）的准线方程为x=4．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知过点F₁（-2，0）倾斜角为θ的直线交椭圆C于A，B两点．
求证：|AB|=

4

2

2-cos2θ

；
（Ⅲ）过点F₁（-2，0）作两条互相垂直的直线分别交椭圆C于点A、B和D、E，求|AB|+|DE|的最小值．

试题来源：安徽试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的标准方程及图象

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由题意：

c=2

a2

c

=4

c2=a2-b2

，解得a²=8，b²=4．
所求的求椭圆C的方程

x2

8

+

y2

4

=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，F₁（-2，0）是椭圆的右焦点，e=

2

．设l为椭圆的左准线，则l：x=-4．作AA₁⊥l于A₁点，BB₁⊥l于B₁点，l与x轴的交点为H．
∵点A在椭圆上，∴|AF1|=

2

|AA1|=

2

(|HF1|+|F1A|cosθ)=

2

+

2

|F1A|cosθ．
∴|AF1|=

2

-cosθ

，同理|BF1|=

2

+cosθ

．（其中θ为直线AB的倾斜角）．
∴|AB|=|AF1|+|BF1|=

2

-cosθ

+

2

+cosθ

=

4

2

2-cos2θ

．
（Ⅲ）设直线AB的倾斜角为θ，由于DE⊥AB，由（Ⅱ）知：|AB|=

4

2

2-cos2θ

，|DE|=

4

2

2-sin2θ

，|AB|+|DE|=

4

2

2-cos2θ

+

4

2

2-sin2θ

=

12

2

2+

1

2

sin22θ

．
当θ=

π

4

或θ=

3π

4

时，|AB|+|DE|取得最小值

16

2

3

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)，其相应于焦点F（2，0）的..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的标准方程及图象”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的标准方程及图象”。

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