平面直角坐标系中，O为坐标原点，给定两点M（1，-3）N（5，1），若点C满足OC=tOM+(1-t)ON(t∈R)．（Ⅰ）求点C的轨迹方程；（Ⅱ）设点C的轨迹与抛物线y2=4x交于A、B两点，求证：OA⊥OB；（Ⅲ）-数学试题及答案

1、试题题目：平面直角坐标系中，O为坐标原点，给定两点M（1，-3）N（5，1），若点..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-16 07:30:00

试题原文

平面直角坐标系中，O为坐标原点，给定两点M（1，-3）N（5，1），若点C满足

OC

=t

OM

+(1-t)

ON

(t∈R)．
（Ⅰ）求点C的轨迹方程；
（Ⅱ）设点C的轨迹与抛物线y²=4x交于A、B两点，求证：

OA

⊥

OB

；
（Ⅲ）求以AB为直径的圆的方程．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：用数量积判断两个向量的垂直关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）：由

OC

=t

OM

+(1-t)

ON

(t∈R)
知点C的轨迹是M，N两点所在的直线，
故点C的轨迹方程是：y+3=

1-(-3)

4

(x-1)即y=x-4（3分）
（Ⅱ）由

y=x-4

y2=4x

?(x-4)2=4x?x2-12x+16=0（5分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）∴x₁x₂=16x₁+x₂=12（6分）
∴y₁y₂=（x₁-4）（x₂-4）=x₁x₂-4（x₁+x₂）+16=-16（8分）
∴x₁x₂+y₁y₂=0故

OA

⊥

OB

（10分）
（Ⅲ）∵x₁+x₂=12，∴y₁+y₂=x₁+x₂-8=12-8=4
∴AB的中点C的坐标为（6，2）．
又∵

OA

⊥

OB

，∴|OC|=2

10

为圆的半径．
∴所求圆的方程为（x-6）²+（y-2）²=40（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“平面直角坐标系中，O为坐标原点，给定两点M（1，-3）N（5，1），若点..”的主要目的是检查您对于考点“高中用数量积判断两个向量的垂直关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中用数量积判断两个向量的垂直关系”。

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