发布人：繁体字网（www.fantiz5.com） 发布时间：2016-03-06 07:30:00
| 试题原文 |
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| 证明：(Ⅰ)易知12，52，72成等差数列，则a2，(5a)2，(7a)2也成等差数列， 所以对任一正整数a，都存在正整数b=5a，c=7a(b＜c)，使得a2，b2，c2成等差数列． (Ⅱ)若an2，bn2，cn2 成等差数列，则有bn2-an2=cn2-bn2， 即(bn-an)(bn+an)=(cn-bn)(cn+bn)， ① 选取关于n的一个多项式，例如4n(n2-1)，使得它可按两种方式分解因式， 由于4n（n2-1）=(2n-2)(2n2+2n)=(2n+2)(2n2-2n)， 因此令  ，可得  ，易验证an，bn，cn满足①，因此an2，bn2，cn2 成等差数列， 当n≥4时，有an＜bn＜cn且an+bn-cn=n2-4n+1＞0， 因此以an，bn，cn为边长可以构成三角形，将此三角形记为△n(n≥4)． 其次，任取正整数m，n（m，n≥4，且m≠n），假若三角形△m与△n相似， 则有  ，据比例性质有  ， ，所以  ，由此可得m=n，与假设m≠n矛盾，即任两个三角形△m与△n(m，n≥4，m≠n)互不相似； 所以存在无穷多个互不相似的三角形△n，其边长an，bn，cn为正整数且an2，bn2，cn2 成等差数列。 |
经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“证明以下命题：(Ⅰ)对任一正整数a，都存在正整数b，c(b＜c)，使得a2..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的定义及性质”。