设数列{an}的各项都是正数，且对任意n∈N+，都有a13+a23+a33+…+an3=Sn2，其中Sn为数列{an}的前n项和．（Ⅰ）求证：an2=2Sn-an；（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；（Ⅲ）设bn=3n+（-1）n-1λ?2an-数学试题及答案

1、试题题目：设数列{an}的各项都是正数，且对任意n∈N+，都有a13+a23+a33+…+an..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-06 07:30:00

试题原文

设数列{a_n}的各项都是正数，且对任意n∈N⁺，都有a₁³+a₂³+a₃³+…+a_n³=S_n²，其中S_n为数列{a_n}的前n项和．
（Ⅰ）求证：a_n²=2S_n-a_n；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）设b_n=3ⁿ+（-1）^n-1λ?2^a_n（λ为非零整数，n∈N^*）试确定λ的值，使得对任意n∈N^*，都有b_n+1＞b_n成立．

试题来源：淄博二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的通项公式

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由已知得，当n=1时，a₁³=S₁²=a₁²，
又∵a_n＞0，∴a₁=1
当n≥2时，a₁³+a₂³++a_n³=S_n²①
a₁³+a₂³++a_n-1³=S_n-1²②
由①-②得，a_n³=S_n²-S_n-1²=（S_n-S_n-1）（S_n+S_n-1）=a_n（S_n+S_n-1）
∴a_n²=S_n+S_n-1=2S_n-a_n（n≥2）
显然当n=1时，a₁=1适合上式．
故a_n²=2S_n-a_n（n∈N^*）
（Ⅱ）由（I）得，a_n²=2S_n-a_n③
a_n-1²=2S_n-1-a_n-1（n≥2）④
由③-④得，a_n²-a_n-1²=2S_n-2S_n-1-a_n+a_n-1=a_n+a_n-1
∵a_n+a_n-1＞0∴a_n-a_n-1=1（n≥2）
故数列a_n是首项为1，公差为1的等差数列．
∴a_n=n（n∈N^*）
（III）∵a_n=n（n∈N^*），∴b_n=3ⁿ+（-1）^n-1λ?2ⁿ
∴b_n+1-b_n=3ⁿ⁺¹-3ⁿ+（-1）ⁿλ?2ⁿ⁺¹-（-1）^n-1λ?2ⁿ=2×3ⁿ-3λ?（-1）^n-1?2ⁿ
要使b_n-1＞b_n恒成立，只须（-1）^n-1 λ＜(

3

2

)^n-1
（1）当n为奇数时，即λ＜(

3

2

)n-1恒成立，
又(

3

2

)n-1的最小值为1，∴λ＜1
（2）当为偶数时，即λ＞(

3

2

)n-1恒成立，
又-(

3

2

)n-1的最大值为-

3

2

，
∴λ＞-

3

2

，∴由（1）（2）得-

3

2

＜λ＜1，
又λ=0且为整数，∴λ=-1对所有n∈N⁺，都有b_n+1＞b_n成立．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设数列{an}的各项都是正数，且对任意n∈N+，都有a13+a23+a33+…+an..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的通项公式”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的通项公式”。

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