已知数列{an}是首项为a且公比q不等于1的等比数列，Sn是其前n项的和，a1，2a7，3a4成等差数列．（I）证明12S3，S6，S12-S6成等比数列；（II）求和Tn=a1+2a4+3a7+…+na3n-2．-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}是首项为a且公比q不等于1的等比数列，Sn是其前n项的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-08 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}是首项为a且公比q不等于1的等比数列，S_n是其前n项的和，a₁，2a₇，3a₄成等差数列．
（I）证明12S₃，S₆，S₁₂-S₆成等比数列；
（II）求和T_n=a₁+2a₄+3a₇+…+na_3n-2．

试题来源：湖南试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）证明：由a₁，2a₇，3a₄成等差数列，得4a₇=a₁+3a₄，
即4aq⁶=a+3aq³．
变形得（4q³+1）（q³-1）=0，
又∵公比q不等于1，所以4q³+1=0
由

S6

12S3

=

a1(1-q6)

1-q

12a1(1-q3)

1-q

=

1+q3

12

=

1

16

．

S12-S6

S6

=

S12

S6

-1=

a1(1-q12)

1-q

a1(1-q6)

1-q

-1=1+q6-1=q6=

1

16

．
得

S6

12S3

=

S12-S6

S6

．
所以12S₃，S₆，S₁₂-S₆成等比数列．
（Ⅱ）T_n=a₁+2a₄+3a₇+…+na_3n-2=a+2aq³+3aq⁶+…+naq^3（n-1）．
即Tn=a+2?(-

1

4

)a+3?(-

1

4

)2a+…+n?(-

1

4

)n-1a．①
①×(-

1

4

)得：-

1

4

Tn=-

1

4

a+2?(-

1

4

)2a+3?(-

1

4

)3a+…+(n-1)?(-

1

4

)n-1a+n(-

1

4

)na…②．
①-②得

5

4

Tn=

a[1-(-

1

4

)n]

1-(-

1

4

)

-n?(-

1

4

)na=

4

5

a-(

4

5

+n)?(-

1

4

)na．
所以Tn=

16

25

a-(

16

25

+

4

5

n)?(-

1

4

)na．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}是首项为a且公比q不等于1的等比数列，Sn是其前n项的..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的定义及性质”。

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