一个口袋中装有大小相同的n个红球（n≥5且n∈N）和5个白球，一次摸奖从中摸两个球，两个球的颜色不同则为中奖．（1）记三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为P．试问当n等于-数学试题及答案

1、试题题目：一个口袋中装有大小相同的n个红球（n≥5且n∈N）和5个白球，一次摸奖..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-17 07:30:00

试题原文

一个口袋中装有大小相同的n个红球（n≥5且n∈N）和5个白球，一次摸奖从中摸两个球，两个球的颜色不同则为中奖．
（1）记三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为P．试问当n等于多少时，P的值最大？
（2）在（1）的条件下，将5个白球全部取出后，对剩下的n个红球全部作如下标记：记上i号的有i个（i=1，2，3，4），其余的红球记上0号，现从袋中任取一球．ξ表示所取球的标号，求ξ的分布列，期望和方差．

试题来源：孝感模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：随机事件及其概率

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）一次摸奖从n+5个球中任取两个，有C_n+5²种方法．它们是等可能的，其中两个球的颜色不同的方法有C_n¹C₅¹种，
一次摸奖中奖的概率P=

C

1n

C

15

C

2n+5

=

10n

(n+5)(n+4)

…（2分）
设每次摸奖中奖的概率为p（0＜p＜1），三次摸奖中（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率，
P=

C

13

×p×(1-p) 2=3p³-6p²+3p
∴P′=9p²-12p+3=3（p-1）（3p-1），
由此知P在(0，

1

3

)上为增函数，P在(

1

3

，1)上为减函数，…（4分）
∴当p=

1

3

时P取得最大值，即p=

10n

(n+5)(n+4)

=

1

3

，
解得n=20或n=1（舍去），则当n=20时，三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率最大．…（6分）
（2）由（1）可知：记上0号的有10个红球，从中任取一球，有20种取法，它们是等可能的故ξ的分布列是

ξ

0

1

2

3

4

P

1

2

1

20

2

20

3

20

4

20

…（8分）
Eξ=0×

1

2

+1×

1

20

+2×

2

20

+3×

3

20

+4×

4

20

=

3

2

…（10分）
Dξ=（0-

3

2

）²×

1

2

+（1-

3

2

）²×

1

20

+（2-

3

2

）²×

2

20

+（3-

3

2

）²×

3

20

+（4-

3

2

）²×

4

20

=

11

4

…（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“一个口袋中装有大小相同的n个红球（n≥5且n∈N）和5个白球，一次摸奖..”的主要目的是检查您对于考点“高中随机事件及其概率”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中随机事件及其概率”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：