如图，已知：AC是⊙O的直径，PA⊥AC，连接OP，弦CB∥OP，直线PB交直线AC于D，BD=2PA．（1）证明：直线PB是⊙O的切线；（2）探究线段PO与线段BC之间的数量关系，并加以证明；（3）求sin∠OP-数学试题及答案

1、试题题目：如图，已知：AC是⊙O的直径，PA⊥AC，连接OP，弦CB∥OP，直线PB交直线..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-01-16 07:30:00

试题原文

如图，已知：AC是⊙O的直径，PA⊥AC，连接OP，弦CB∥OP，直线PB交直线AC于D，BD=2PA．
魔方格

（1）证明：直线PB是⊙O的切线；
（2）探究线段PO与线段BC之间的数量关系，并加以证明；
（3）求sin∠OPA的值．

试题来源：襄阳试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：初中考察重点：勾股定理

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）证明：连接OB．
∵BC∥OP，
∴∠BCO=∠POA，∠CBO=∠POB，
∴∠POA=∠POB，（1分）
又∵PO=PO，OB=OA，
∴△POB≌△POA．（3分）
∴∠PBO=∠PAO=90°．
∴PB是⊙O的切线．（4分）

（2）2PO=3BC．（写PO=

3

2

BC亦可）
证明：∵△POB≌△POA，∴PB=PA．（5分）
∵BD=2PA，∴BD=2PB．
∵BC∥PO，∴△DBC∽△DPO．（6分）
∴

BC

PO

=

BD

PD

=

2

3

，
∴2PO=3BC．（7分）

（3）∵CB∥OP，
∴△DBC∽△DPO，
∴

DC

DO

=

BD

PD

=

2

3

，
即DC=

2

3

OD．
∴OC=

1

3

OD，
∴DC=2OC．（8分）
设OA=x，PA=y．则OD=3x，OB=x，BD=2y．
在Rt△OBD中，由勾股定理得（3x）²=x²+（2y）²，即2x²=y²．
∵x＞0，y＞0，
∴y=

2

x，OP=

x2+y2

=

3

x．（9分）
∴sin∠OPA=

OA

OP

=

x

3

x

=

1

3

=

3

．（10分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，已知：AC是⊙O的直径，PA⊥AC，连接OP，弦CB∥OP，直线PB交直线..”的主要目的是检查您对于考点“初中勾股定理”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“初中勾股定理”。

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